Dwie kule połączone sprężynami - okres drgań

Ruch drgający, wahadła i oscylatory. Ruch falowy i stowarzyszone z nim zjawiska. Zjawiska akustyczne.
Bursztyncio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 80
Rejestracja: 24 lis 2015, o 23:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 34 razy

Dwie kule połączone sprężynami - okres drgań

Post autor: Bursztyncio » 31 maja 2017, o 20:41

Dwie kulki o takich samych masach \(\displaystyle{ m}\) są połączone sprężynami o stałych sprężystości odpowiednio \(\displaystyle{ k_1}\), \(\displaystyle{ k_2}\) i \(\displaystyle{ k_3}\).

Obrazowo układ wygląda tak:
|~~~~~O~~~~~O~~~~~|

Mam znaleźć okres drgań \(\displaystyle{ T}\).

Na zajęciach dowiedziałem się, że trzeba narysować rysunek z wychylonymi kulkami, np.
|~~~~~~O~~~~~~~O~~|

Przyjmujemy, że pierwszą kulkę (od lewej) wychylamy o \(\displaystyle{ x_1}\) od jej położenia równowagi, a drugą kulkę wychylamy o \(\displaystyle{ x_2}\). Na rysunku zaznaczamy wszystkie oddziałujące siły - czyli siły sprężystości. Następnie zapisujemy za II zasadą dynamiki równania ruchu:
\(\displaystyle{ m \cdot \ddot{x_1} = - k_1 x_1 + k_2 (x_2 - x_1)}\) (pierwsza kulka)
\(\displaystyle{ m \cdot \ddot{x_2} = - k_2 (x_2 - x_1) - k_3 x_2}\) (druga kulka)

Nie wiem co dalej z tym zrobić. Problem polega na tym, że na zajęciach miałem zadania, gdzie była albo jedna kulka, albo kulka + łączenie między sprężynami. Wtedy łatwo było dojść do postaci jednego równania, którego przewidywane rozwiązanie miało postać \(\displaystyle{ x = A \cdot e^{i \omega t}}\), potem po zróżniczkowaniu, podstawieniu i przekształceniach wyliczało się \(\displaystyle{ \omega}\) i korzystało z zależności \(\displaystyle{ \omega = \frac{2 \pi}{T}}\) by otrzymać odpowiedź. A co tutaj?

korki_fizyka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 503
Rejestracja: 17 lut 2016, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 46 razy

Re: Dwie kule połączone sprężynami - okres drgań

Post autor: korki_fizyka » 31 maja 2017, o 22:01

Niech kolega zajrzy do Crawforda - Fale, t.3 berkleyowskiego kursu, a znajdzie szczegółowe rozwiązanie.

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6401
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1031 razy

Re: Dwie kule połączone sprężynami - okres drgań

Post autor: kruszewski » 31 maja 2017, o 22:11

Przesuwając kulkę lewą powodujemy zmiany długości wszystkich trzech trzech sprężyn.
Odległość między oporami jest stała, zatem przemieszczenie kulki \(\displaystyle{ m_1}\) o \(\displaystyle{ x_1}\) powoduje zmianę długości pozostałych sprężyn o \(\displaystyle{ x_{2,3} = x_1}\)
czego, moim zdaniem, zabrakło w pokazanych u Kolegi równaniach.

ODPOWIEDZ