2 całki krzywoliniowe

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
rObO87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 586
Rejestracja: 16 sty 2005, o 20:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 4 razy

2 całki krzywoliniowe

Post autor: rObO87 » 18 wrz 2007, o 19:13

Mam do policzenia takie całki:

:arrow: 1. \(\displaystyle{ \int\limits_{L}\frac{-ydx}{x^2+y^2}+\frac{xdy}{x^2+y^2}}\)
gdzie L to okrąg: \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\) o orientacji zgodnej z ruchem wskazówek zegara. Czyli nie można zastosować tw. Greena i należy liczyć standardowo. Pytanie w jaki sposób?
Czy nie poprzez parametryzację:

\(\displaystyle{ x=r*cos(\theta)}\)
\(\displaystyle{ y=r*sin(\theta)}\)

\(\displaystyle{ dx=-r*sin(\theta)}\)
\(\displaystyle{ dy=r*cos(\theta)}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ r=\sqrt{1}=1}\)
\(\displaystyle{ \theta \in [0; 2\pi]}\)

i otrzymamy całkę po \(\displaystyle{ \theta}\) :?:

:arrow: 2. \(\displaystyle{ \int\limits_{0,0,0}^{1,1,1} (x^3-5yz)dx+(y^3-5xz)dy+(z^3-5yx)dx}\)
Wygląda mi to na całke krzywoliniową skierowaną (jak powyższa). Jak ją obliczyć? Wiem, że to będzie trójkąt równoboczny i chyba chodzi o długości boków, które są równe \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) ale chodzi mi o obliczenie przy pomocy całki.

btw. całke krzywoliniową skierowaną od nieskierowanej odróżnia się po tym, że nieskierowana ma 'dl, tak :?:
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

2 całki krzywoliniowe

Post autor: luka52 » 18 wrz 2007, o 19:38

ad 1.
No niestety nie można skorzystać z tw. Greena :|
Okrąg owszem należy tak sparametryzwoać.
BTW. Używaj '\cdot' miast '*'.

ad 2.
Co ma oznaczać obliczenie "przy pomocy całki" :?:

ad btw. można tak powiedzieć ;]

rObO87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 586
Rejestracja: 16 sty 2005, o 20:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 4 razy

2 całki krzywoliniowe

Post autor: rObO87 » 18 wrz 2007, o 19:45

Jeżeli dobrze myślę (długości boków trójkąta) to wynik 2. całki to \(\displaystyle{ 3\sqrt{2}}\) Jak otrzymać ten wynik z całki?

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

2 całki krzywoliniowe

Post autor: luka52 » 18 wrz 2007, o 19:52

rObO87, ale skąd się wziął ten trójkąt

rObO87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 586
Rejestracja: 16 sty 2005, o 20:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 4 razy

2 całki krzywoliniowe

Post autor: rObO87 » 18 wrz 2007, o 19:57

Całka jest od (0,0,0) do (1,1,1). Jeżeli to zaznaczymy w układzie 3D i połączymy to otrzymamy trójkąt, prawda? Chyba, że to nie chodzi o długości boków trójkąta.

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

2 całki krzywoliniowe

Post autor: luka52 » 18 wrz 2007, o 20:01

Nie - jeżeli to połączymy to otrzymamy prosty odcinek łączący te dwa punkty.
Trójkąt otrzymamy tylko wtedy jeżeli zamkniemy krzywą dodtkowymi odcinkami.

rObO87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 586
Rejestracja: 16 sty 2005, o 20:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 4 razy

2 całki krzywoliniowe

Post autor: rObO87 » 18 wrz 2007, o 20:14

Czyli jak należy obliczyć tę całkę? Chodzi o długości zielonych odcinków?

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

2 całki krzywoliniowe

Post autor: luka52 » 18 wrz 2007, o 20:19

W treści zadania nie widziałem aby było cokolwiek napisane po jakiej krzywej należy całkować, zatem możemy przyjąć że będzie to odcinek prostej.
Jak ona będzie wyglądać? A jakbyś narysował wektor (1,1,1) o punkcie zaczepienia w (0,0,0)
Wygodnie jest przedstawić tą prostą w postaci parametrycznej - (t,t,t)

Awatar użytkownika
Amon-Ra
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 882
Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tczew
Pomógł: 175 razy

2 całki krzywoliniowe

Post autor: Amon-Ra » 18 wrz 2007, o 20:23

luka52 pisze:ad btw. można tak powiedzieć ;]
Według luka52, całka \(\displaystyle{ \int_l \vec{F}\circ d\vec{l}}\) jest całką niezorientowaną...

Należy tu rozróżnić dwie istotne sprawy - całki krzywoliniowe z funkcji skalarnych i z pól wektorowych (odwzorowań \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3\longrightarrow \mathbb{R}^3}\)). Symbol różniczkowy dl może jak najbardziej występować w całce skierowanej, o ile zaznaczy się jasno, iż jest to wektor.

rObO87, źle obliczyłeś różniczki zmiennych w pierwszym zadaniu, zapominając o przyrostach \(\displaystyle{ d\theta}\).

W drugim przykładzie można zauważyć, że rozpatrywane pole wektorowe jest potencjalne. A jeżeli się tego nie zrobiło, to dokonujemy parametryzacji odcinka jako \(\displaystyle{ x(t)=t, \ y(t)=t, \ z(t)=t}\) i \(\displaystyle{ 0\leq t q 1}\), przez to \(\displaystyle{ dx=dt, \ dy=dt, \ dz=dt}\) i całka transformuje do postaci następującej: \(\displaystyle{ \int_{0}^{1} ((t^3-5t^2)+(t^3-5t^2)+(t^3-5t^2))dt=\int_{0}^{1}(3t^3-15 t^2)dt}\).

rObO87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 586
Rejestracja: 16 sty 2005, o 20:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 4 razy

2 całki krzywoliniowe

Post autor: rObO87 » 18 wrz 2007, o 20:29

Amon-Ra pisze: rObO87, źle obliczyłeś różniczki zmiennych w pierwszym zadaniu, zapominając o przyrostach \(\displaystyle{ d\theta}\).
Czyli jak ta całka powinna być policzona?

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

2 całki krzywoliniowe

Post autor: luka52 » 18 wrz 2007, o 20:32

Amon-Ra pisze:Według luka52, całka (...)
tak - moje niedopatrzenie

Ponadto przy sprawdzaniu czy pole jest potencjalne, źle obliczyłem pochodne i stąd te "zbędna" wywody.

Awatar użytkownika
Amon-Ra
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 882
Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tczew
Pomógł: 175 razy

2 całki krzywoliniowe

Post autor: Amon-Ra » 18 wrz 2007, o 20:39

Bierzemy \(\displaystyle{ x=\cos\theta}\), \(\displaystyle{ y=\sin\theta}\). Na tej podstawie:

\(\displaystyle{ dx=-\sin\theta d\theta \\ dy=\cos\theta d\theta}\)

Krzywa jest zorientowana ujemnie, zatem:

\(\displaystyle{ ...=-\int_{0}^{2\pi} ft(\frac{\sin ^2 \theta}{1}+\frac{\cos^2 \theta}{1}\right)d\theta}\)

ODPOWIEDZ