Matematyka.pl

Wiadomo, że jeśli mamy funkcję \(\displaystyle{ f}\) na zbiorze zwartym,to musi ona przyjmować minimum i maksimum. Moje pytanie brzmi: załóżmy, że mamy funkcję gładką na zbiorze zwartym. Czy moduł jej pierwszej pochodnej musi być ograniczony?

Wiadomo, że jeśli mamy funkcję \(\displaystyle{ f}\) na zbiorze zwartym,to musi ona przyjmować minimum i maksimum.

Jeszcze \(\displaystyle{ f}\) chyba ma być ciągła.

A Twoje pytanie jest proste lub go nie zrozumiałem. Jeżeli \(\displaystyle{ f}\) jest gładka w pewnym zbiorze zwartym \(\displaystyle{ F}\), to w szczególności \(\displaystyle{ f'}\) jest ciągła w tymże zbiorze zwartym, wobec czego na mocy twierdzenia Weierstrassa przyjmuje swoje kresy na tym zbiorze i wystarczy ograniczyć:
\(\displaystyle{ \left| f'(x)\right| \le \max\left\{ \left|\max_{x \in F}f'(x)\right|, \ \left| \min_{x \in F}f'(x)\right| \right\}}\)

Oczywiście, niedopatrzenie, miało być "funkcja ciągła". Dziękuję za odpowiedź.