Środek symetrii krzywej

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
adis123456321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 67
Rejestracja: 21 lis 2015, o 21:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 19 razy

Środek symetrii krzywej

Post autor: adis123456321 » 27 maja 2017, o 21:03

Witam,
jest ktoś w stanie wytłumaczyć, jak wyznaczyć środek symetrii krzywej 2-go stopnia określonej równaniem:

\(\displaystyle{ f(x,y)= x^{2}+6xy+y^{2}+3x+2y-4}\)

Z góry dziękuję za pomoc
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18718
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3714 razy

Re: Środek symetrii krzywej

Post autor: szw1710 » 27 maja 2017, o 21:33

Trzeba sprowadzić równanie do postaci kanonicznej - mają być same kwadraty. Zacznijmy tak:

\(\displaystyle{ x^{2}+6xy+y^{2}+3x+2y-4=(x+3y+3/2)^2+\dots}\)

Musisz to wyrównać stosując wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy trzech składników. Wyeliminowaliśmy \(\displaystyle{ x}\), to samo robimy z \(\displaystyle{ y}\).

Możemy też popatrzeć co to za krzywa licząc wyróżniki: duży i mały.

adis123456321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 67
Rejestracja: 21 lis 2015, o 21:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 19 razy

Re: Środek symetrii krzywej

Post autor: adis123456321 » 27 maja 2017, o 21:57

Z obliczeń wyszło mi, że powyższa krzywa jest hiperbolą. Jaki z tego wniosek mogę wysunąć ? Tylko tyle, że ma środek symetrii ?

A jesli już sprowadzę do kanonicznej, to jak wyznaczyć środek symetrii ?

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18718
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3714 razy

Re: Środek symetrii krzywej

Post autor: szw1710 » 27 maja 2017, o 22:15

Narysuj hiperbolę wraz z asymptotami. Piszę to nieprzypadkowo.

Przykładowo: jeśli dochodzimy do równania typu \(\displaystyle{ (x+2y-1)^2-(2x-3y+2)^2=1}\), to wprowadzamy nowe współrzędne \(\displaystyle{ u=x+2y-1}\) oraz \(\displaystyle{ v=2x-3y+2}\) i w nich asymptoty mają równania \(\displaystyle{ u=\pm v}\). Wystarczy powrócić do współrzędnych \(\displaystyle{ x,y}\) i mamy asymptoty tamtej hiperboli.
Ostatnio zmieniony 27 maja 2017, o 22:17 przez szw1710, łącznie zmieniany 1 raz.

adis123456321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 67
Rejestracja: 21 lis 2015, o 21:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 19 razy

Re: Środek symetrii krzywej

Post autor: adis123456321 » 27 maja 2017, o 22:16

A nie ma jakiegoś typowo algebraicznego sposobu na wyznaczenie środka symetrii ?

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18718
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3714 razy

Re: Środek symetrii krzywej

Post autor: szw1710 » 27 maja 2017, o 22:18

Asymptoty wydają mi się najprostszym rozwiązaniem.

adis123456321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 67
Rejestracja: 21 lis 2015, o 21:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 19 razy

Re: Środek symetrii krzywej

Post autor: adis123456321 » 28 maja 2017, o 16:53

Rozumiem, dziękuję
Mam jeszcze pytanie odnośnie zamiany na postać kananiczną krzywej 2-go stopnia, która ma kształt paraboliczny.

Np:

\(\displaystyle{ x^{2}-4xy+4y^{2}+4x-3y-7}\)

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18718
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3714 razy

Re: Środek symetrii krzywej

Post autor: szw1710 » 28 maja 2017, o 17:04

Robimy to identycznie. Po prostu zostanie jakieś wyrażenie liniowe po redukcji kwadratów.

adis123456321
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 67
Rejestracja: 21 lis 2015, o 21:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 19 razy

Re: Środek symetrii krzywej

Post autor: adis123456321 » 28 maja 2017, o 17:34

\(\displaystyle{ (x-2y)^{2}+4x-3y-7=0}\)

I czy można powiedzieć, że to już jest ta postać ?

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18718
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 3714 razy

Re: Środek symetrii krzywej

Post autor: szw1710 » 28 maja 2017, o 21:55

Tak.

ODPOWIEDZ