Matematyka.pl

Mam takie zadanie:

Niech \(\displaystyle{ f(x)=\frac{2x+a}{x-2}}\), gdzie \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R} \setminus \left\{ 2\right\}}\), \(\displaystyle{ a\in \mathbb{R} \setminus \left\{ -4\right\}}\). Czy dla dowolnego \(\displaystyle{ a\in \mathbb{R} \setminus \left\{ -4\right\}}\) istnieje styczna do wykresu funkcji \(\displaystyle{ f}\), prostopadła do prostej o równaniu: \(\displaystyle{ 3x-y-2=0}\)? Odpowiedź uzazadnij.

Prosta prostopadła do prostej \(\displaystyle{ y=3x-2}\) będzie miała postać \(\displaystyle{ y=-\frac{1}{3}x+b}\).
Sprawdziłem w GeoGebrze i dla pewnych \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) taka styczna istnieje, ale nie dla każdego. Jak to mógłbym zapisać?

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{a+4}{x-2}+2\\
f'(x)= \frac{-a-4}{(x-2)^2}\\
\frac{-a-4}{(x_0-2)^2}= \frac{-1}{3} \\
3(a+4)=(x_0-2)^2}\)
Dla \(\displaystyle{ a>-4}\) Istnieją dwa punkty styczności, a dla \(\displaystyle{ a<-4}\) punktów styczności (więc i stycznych) nie ma.