Pytanie dot. różnic między wsp. biegunowymi a normalnymi

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
kudlaty.87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 26 sie 2007, o 14:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz

Pytanie dot. różnic między wsp. biegunowymi a normalnymi

Post autor: kudlaty.87 » 18 wrz 2007, o 17:23

jeżeli mamy obliczyć objętość jakiejś bryły obrotowej, której część znajduje się poniżej płaszczyzny Oxy przy pomocy całki podwójnej to czy po zmianie wsp. na biegunowe objętość którą dostajemy jest objętością liczoną od płaszczyzny Oxy "w dół" do pow. opisanej funkcją, czy (jako, że przeszliśmy na całkę względem promienia) od osi Oz do pow. opisanej funkcją? (mam nadzieję, że w sposób zrozumiały zadałem to pytanie)

Przykład:
Obliczyć objętość bryły U ograniczonej powierzchniami:
\(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+4z=0}\)
\(\displaystyle{ z=1-\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\)

po narysowaniu tej bryły otrzymujemy stożek o r=2 h=2 (od z=-1 do z=1) wydrążony od spodu paraboloidą (tak to się nazywa?) \(\displaystyle{ z=-\frac{1}{4}(x^{2}+y^{2})}\)

i moje pytanie odnośnie tego przykładu brzmi tak: jak policzyć przy pomocy wsp. biegunowych to "wykrojone" pole i czy r w tej całce będzie zmieniał się od 0 do 2 czy jakoś inaczej?

bo ja liczę to przy pomocy całki:
\(\displaystyle{ -\frac{1}{4}\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{2}r^{3}dx}\)
i chodzi mi o to czy ta całka (o ile jest dobrze to r) jest objętością bryły ograniczonej przez:
1. oś Oxy, walec o r=2 i osi sym. wzdłuż osi Oz i funkcję z(x,y)
czy
2. płaszczyznę z=-1 i funkcję z(x,y)
???

Będę wdzięczny za wszelką pomoc
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Pytanie dot. różnic między wsp. biegunowymi a normalnymi

Post autor: scyth » 25 wrz 2007, o 09:33

kudlaty.87 pisze:mam nadzieję, że w sposób zrozumiały zadałem to pytanie
Jak dla mnie to nie bardzo.

Obrazek dla ścisłości:


A więc według mnie powinieneś najpierw policzyć stożek w dodatniej części układu współrzędnych, a potem pozostały obszar pod osią Oxy we współrzędnych walcowych.
Możesz też policzyć cały stożek i odjąć paraboloidę.

ps. Ciekawy masz OS i przeglądarkę, że forum Cię nie poznaje.

ODPOWIEDZ