O kardioidzie i jej r-niach możesz przeczytać
tutaj.
Ad.a) Podstawiamy
\(\displaystyle{ x=r\cos\phi}\) i
\(\displaystyle{ y=r\sin\phi}\) do równania i dostajemy
\(\displaystyle{ r^4-2ar^3\cos\phi-a^2r^2\sin^2\phi=0}\), co po przekształceniach daje nam
\(\displaystyle{ r^2(r-a\cos\phi-a)(r-a\cos\phi+a)=0}\)
Pierwszy czynnik daje nam
\(\displaystyle{ r=0}\), trzeci odpada z warunku
\(\displaystyle{ r\ge0}\), zostaje drugi, który jest r-niem kardioidy
\(\displaystyle{ r=a(1+\cos\phi)}\)
Ad.b) Wyliczony powyżej propień wstawiamy do wzorów na współrzędne i dostajemy jedną z możliwych parametryzacji:
\(\displaystyle{ x(t)=a(1+\cos t)\cos t \qquad\ \&\ \qquad y(t)=a(1+\cos t)\sin t}\)
dla
\(\displaystyle{ t\in[0,2\pi]}\)
Ad.c) Miejsca zerowe, to - jak rozumiem - miejsca przecięcia się krzywej z osiami układu współrzędnych. Łatwo je wyliczymy wstawiając kolejno do równania
\(\displaystyle{ \phi=0,\ \frac\pi2,\ \pi,\ \frac23\pi}\). Dostajemy zatem punkty
\(\displaystyle{ (0,0), (2a,0), (0,a), (0,-a)}\)
Pozdrawiam