Równanie biegunowe i parametryczne Kardioidy

[Markus19]

Witam serdecznie

Chciałbym Szanownych Państwa poprosić o pomoc - będę wdzięczny za pomoc, gdyż pomoże mi to przygotować się egzamin poprawkowy.

oto treść zadania:

Równanie kardioidy jest postaci: \(\displaystyle{ (x^2+y^2)^2-2ax(x^2+y^2)-a^2y^2=0}\)
Wyprowadź
a) równanie biegunowe tej krzywej
b) równanie parametryczne tej krzywej
c) Okreś miejsca zerowe

Nie jestem specjalistą w tej dziedzinie szczerze powiem dlatego proszę Państwa o pomoc.

Pozdrawiam serdecznie

[ Dodano: 18 Września 2007, 22:28 ]
Czy nikt z państwa nie jest w stanie mi pomóc?

[Sir George]

O kardioidzie i jej r-niach możesz przeczytać tutaj.


Ad.a) Podstawiamy \(\displaystyle{ x=r\cos\phi}\) i \(\displaystyle{ y=r\sin\phi}\) do równania i dostajemy \(\displaystyle{ r^4-2ar^3\cos\phi-a^2r^2\sin^2\phi=0}\), co po przekształceniach daje nam
\(\displaystyle{ r^2(r-a\cos\phi-a)(r-a\cos\phi+a)=0}\)
Pierwszy czynnik daje nam \(\displaystyle{ r=0}\), trzeci odpada z warunku \(\displaystyle{ r\ge0}\), zostaje drugi, który jest r-niem kardioidy \(\displaystyle{ r=a(1+\cos\phi)}\)

Ad.b) Wyliczony powyżej propień wstawiamy do wzorów na współrzędne i dostajemy jedną z możliwych parametryzacji:
\(\displaystyle{ x(t)=a(1+\cos t)\cos t \qquad\ \&\ \qquad y(t)=a(1+\cos t)\sin t}\)
dla \(\displaystyle{ t\in[0,2\pi]}\)

Ad.c) Miejsca zerowe, to - jak rozumiem - miejsca przecięcia się krzywej z osiami układu współrzędnych. Łatwo je wyliczymy wstawiając kolejno do równania \(\displaystyle{ \phi=0,\ \frac\pi2,\ \pi,\ \frac23\pi}\). Dostajemy zatem punkty \(\displaystyle{ (0,0), (2a,0), (0,a), (0,-a)}\)


Pozdrawiam

[Markus19]

Uprzejmie dziękuję za odpowiedź