Rozkład wektora losowego
: 23 maja 2017, o 11:54
Cześć wszystkim!
Moje zadanie to:
Łączny rozkład wektora losowego \(\displaystyle{ (X,Y)}\) dany jest gęstością:
\(\displaystyle{ f(x,y) = e^{x-y} \cdot 1_{A}(x,y)}\), gdzie \(\displaystyle{ A = \left\{ 0 \le x < 1 \land y \ge x\right\}}\)
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ \left\{ X + Y < 2\right\}}\)
Rozpisuję funkcję gęstości: \(\displaystyle{ f(x,y) = egin{cases} e^{x-y}, dla x in left[ 0;1
ight) land y in left[ x;infty
ight) \ 0, dla x
otin left[ 0;1
ight) lor y
otin left[ x;infty
ight) end{cases}}\)
Rozkład jest ciągły, więc może policzyć gęstości brzegowe, później sprawdzić, czy zmienne \(\displaystyle{ X i Y}\) są niezależne. Jeśli tak, to skorzystać z definicji splotu i policzyć z niej całkę, by otrzymać dystybuantę?
Wtedy, rozpisując \(\displaystyle{ P(X+Y < 2) = F_{X+Y}(2)}\) i mając tę dystrybuantę dostanę wynik. Czy to dobre rozumowanie? Jeśli tak, to co zrobić gdy nie dostanę niezależności? Proszę o wytłumaczenie
Moje zadanie to:
Łączny rozkład wektora losowego \(\displaystyle{ (X,Y)}\) dany jest gęstością:
\(\displaystyle{ f(x,y) = e^{x-y} \cdot 1_{A}(x,y)}\), gdzie \(\displaystyle{ A = \left\{ 0 \le x < 1 \land y \ge x\right\}}\)
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(\displaystyle{ \left\{ X + Y < 2\right\}}\)
Rozpisuję funkcję gęstości: \(\displaystyle{ f(x,y) = egin{cases} e^{x-y}, dla x in left[ 0;1
ight) land y in left[ x;infty
ight) \ 0, dla x
otin left[ 0;1
ight) lor y
otin left[ x;infty
ight) end{cases}}\)
Rozkład jest ciągły, więc może policzyć gęstości brzegowe, później sprawdzić, czy zmienne \(\displaystyle{ X i Y}\) są niezależne. Jeśli tak, to skorzystać z definicji splotu i policzyć z niej całkę, by otrzymać dystybuantę?
Wtedy, rozpisując \(\displaystyle{ P(X+Y < 2) = F_{X+Y}(2)}\) i mając tę dystrybuantę dostanę wynik. Czy to dobre rozumowanie? Jeśli tak, to co zrobić gdy nie dostanę niezależności? Proszę o wytłumaczenie