Granica

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
Geldron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 7 gru 2006, o 12:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 11 razy

Granica

Post autor: Geldron » 18 wrz 2007, o 16:42

Proszę o pomoc z następującą granicą:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to }(x-x^{2}ln(1+\frac{1}{x}))}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

greey10
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 993
Rejestracja: 31 lip 2006, o 18:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 5 razy

Granica

Post autor: greey10 » 18 wrz 2007, o 17:18

\(\displaystyle{ \lim (1+\frac{1}{x})^{x}=e}\)
\(\displaystyle{ \lim x-\ln{(1+\frac{1}{x})^{x^{2}}}=0}\) jednak prosil bym o sprawdzenie dawno nie stykalem sie z granicami i duzo pozapominalem

Awatar użytkownika
Lider_M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 867
Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: MiNI PW
Pomógł: 258 razy

Granica

Post autor: Lider_M » 18 wrz 2007, o 17:24

@greey10 źle to rozwiązałeś, przeanalizuj jeszcze raz.

A tutaj będzie trzeba przekształcić do odpowiedniej postaci i hospitalizować / ewentualnie z Taylora.

Granica wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

Geldron
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 7 gru 2006, o 12:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 11 razy

Granica

Post autor: Geldron » 18 wrz 2007, o 19:38

Lider_M pisze:@greey10 źle to rozwiązałeś, przeanalizuj jeszcze raz.

A tutaj będzie trzeba przekształcić do odpowiedniej postaci i hospitalizować / ewentualnie z Taylora.

Granica wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

A mógłbyś napisać jak to przekształcałeś?

Awatar użytkownika
Lider_M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 867
Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: MiNI PW
Pomógł: 258 razy

Granica

Post autor: Lider_M » 18 wrz 2007, o 19:52

\(\displaystyle{ x\left[1-x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right]}\) teraz podstawienie \(\displaystyle{ t=\frac{1}{x}}\) i liczymy granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{t\to 0}\frac{1-\frac{\ln (1+t)}{t}}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{t-\ln (1+t)}{t^2}}\) i teraz dwa sposoby:
1. hospitalozować i wychodzi po przekształceniach: \(\displaystyle{ \lim_{t\to 0}\frac{1}{2+2t}=\frac{1}{2}}\)
2. skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ \ln (1+t)=t-\frac{t^2}{2}+O(t^3)}\) więc:
\(\displaystyle{ \lim_{t\to 0}\frac{\frac{t^2}{2}+O(t^3)}{t^2}=\lim_{t\to 0}\left(\frac{1}{2}+O(t)\right)=\frac{1}{2}}\)

Można też hostpitalozować po 'iksie', ale do końcowego obliczenia tej granicy będą potrzebne dwie hospitalizacje.

ODPOWIEDZ