Matematyka.pl

Oblicz
\(\displaystyle{ \underbrace{2^{2^{.^{.^{.{2}}}}}}_{2017} \mod 2017}\)

Weźmy ciąg:

\(\displaystyle{ a_{1}=1, a_{2}=2, a_{3}=2^2=4, a_{4}=2^{2^2},...}\)

ogólnie:

\(\displaystyle{ a_{n+1}=2^{a_{n}} \mod 2017}\)

Znajdziemy okres tego ciągu:, kolejne wyrazy to:

\(\displaystyle{ 1, 2, 4, 16, 992,1039, 1901, 541, 1373, 1988, 765, 262, 1493, 1635, 1077, 1867, 132, 1234, 1176, 2016, 1, 2,...}\)

Czyli długość okresu wynosi 20...

Dalej już sam policzysz...

Ciekawe jest tu tyle, że:

\(\displaystyle{ 2^{2016}=1}\)

co ma związek z rokiem 2016 stanowi kres okresu czego należało się domyśleć...

arek1357, to jest niepoprawnie, próbujesz korzystać z czegoś takiego: jeśli \(\displaystyle{ x \equiv y \pmod{2017}}\), to \(\displaystyle{ 2^x \equiv 2^y \pmod{2017}}\), a to niestety nie jest prawda

No tak masz racje w sumie się zasugerowałem i ładnie szło...

Kłania się małe twierdzenie Fermata...

Drobna korekta:

\(\displaystyle{ a_{n+1}=2^{a_{n}} (mod) 2016}\)

bo:

\(\displaystyle{ 2^{2016}=1 \mod 2017}\)

kolejne wyrazy to:

\(\displaystyle{ 1, 2, 4 16, 1024, 1024, 1024...}\)


tam powinno być:

\(\displaystyle{ 2^{2016}=1}\)

\(\displaystyle{ 2^{\alpha \cdot 2016+r}=2^r}\)


ostatnie:

\(\displaystyle{ 2^{1024}=992 \mod 2017}\)