Matematyka.pl

Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania. Muszę udowodnić, że funkcja jest metryką i nie mogę poradzić sobie z nierównością trójkąta. Metryka jest postaci:

\(\displaystyle{ \alpha (x,y)= \begin{cases}|x-y| \Leftrightarrow xy>0 \\0 \Leftrightarrow x=y=0\\ |x-y|+1\ \mbox{w pozostałych}\end{cases}}\).

Jeżeli możemy skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ \left| \cdot \right|}\) jest metryką to masz takie coś:

\(\displaystyle{ \left| x-z\right| +1 \le \left| x-y\right|+1+\left| y-z\right|+1}\)
Ponieważ
\(\displaystyle{ \left| x-z\right| \le \left| x-y\right|+\left| y-z\right|}\)
Tym bardziej
\(\displaystyle{ \left| x-z\right| \le \left| x-y\right|+\left| y-z\right| +1}\)