Matematyka.pl

Wyznacz rozkład ilorazu dwóch dwóch niezależnych zmiennych o rozkładach \(\displaystyle{ N(0,1)}\).
Mam więc
\(\displaystyle{ Z=\frac{X}{Y}}\)
\(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{1}{2 \pi} \cdot e^{\frac{-(x^2+y^2)}{2}}}\)
Szukam dystrybuanty dla \(\displaystyle{ Z}\)
\(\displaystyle{ F_Z(z)=P(Z \le z)=P(\frac{X}{Y} \le z)= \begin{cases} P(X \le Yz \ dla \ Y>0 \\ P(X \ge Yz \ dla \ Y<0 \end{cases}= \begin{cases} \int_{- \infty }^{ \infty } \int_{- \infty }^{yz}f(x,y)dxdy \\ \int_{- \infty }^{ \infty } \int_{yz }^{ \infty } f(x,y)dxdy \end{cases}}\)

Tylko teraz nie wiem jak te całki mam policzyć.

A ja bym na to spojrzał trochę inaczej. Może zdarzyło Ci się słyszeć, że jeśli zmienne losowe
\(\displaystyle{ X, Y}\) są niezależne oraz \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład \(\displaystyle{ \matcal{N}(0,1)}\), zaś \(\displaystyle{ Y}\) ma rozkład chi kwadrat z \(\displaystyle{ n}\) stopniami swobody, to
\(\displaystyle{ Z= \sqrt{n}\frac{X}{ \sqrt{Y} }}\) ma rozkład t-Studenta z \(\displaystyle{ n}\) stopniami swobody.
Więc zapiszmy może tak:
\(\displaystyle{ \frac{X}{Y}= \begin{cases} \frac{X}{\sqrt{Y^2}}\text{ gdy }Y>0 \\ - \frac{X}{\sqrt{Y^2}}} \text{ gdy} Y<0 \end{cases}}\)

Nie słyszałem o tym jeszcze. Inaczej się to da zrobić?

\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( \frac{X}{Y} \le z \right)=\mathbf{P}\left( X \le Yz, Y>0\right) +\mathbf{P}\left( X \ge Yz, Y<0\right)=\\= \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathbf{1}_{(0,+\infty)}(y)\mathbf{1}_{(-\infty, yz]}(x)\frac{1}{2\pi}e^{- \frac{x^2+y^2}{2} }\,\dd (x,y) + \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty}\mathbf{1}_{(-\infty,0)}(y)\mathbf{1}_{[yz,+\infty)}(x)\frac{1}{2\pi}e^{- \frac{x^2+y^2}{2} }\,\dd (x,y)=\\= \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{- \frac{y^2}{2} } \int_{-\infty}^{yz} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{- \frac{x^2}{2} }\,\dd x \,\dd y+ \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{- \frac{y^2}{2} } \int_{yz}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{- \frac{x^2}{2} }\,\dd x \,\dd y=\\= \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{- \frac{y^2}{2} }\Phi(yz)\,\dd y+ \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{- \frac{y^2}{2} }\left( 1-\Phi(yz)\right)\,\dd y}\)
Teraz zauważmy, że \(\displaystyle{ 1-\Phi(x)=\Phi(-x)}\) i podstawmy w tej drugiej całce \(\displaystyle{ u=-y}\).
Po pewnych redukcjach otrzymamy:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( \frac{X}{Y}\le z \right)= 2 \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{- \frac{y^2}{2} }\Phi(yz) \,\dd y}\)
Korzystając z twierdzenia Leibniza, różniczkujemy tę całkę po \(\displaystyle{ z}\), otrzymując gęstość rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z= \frac{X}{Y}}\):
\(\displaystyle{ f(z)=2 \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{2\pi}ye^{- \frac{y^2(1+z^2)}{2} } \,\dd y}\)
Całka, którą otrzymaliśmy, jest już bardzo łatwa do obliczenia, co zostawiam jako ćwiczenie dla Ciebie.
Powinieneś otrzymać rozkład Cauchy'ego, o ile nie pomyliłem się w obliczeniach.
A jeśli nie znasz twierdzenia Leibniza o różniczkowaniu całki względem parametru, to bardzo mnie to kurczę obchodzi.

Miałem to tw. ale chciałbym zapytać o tą funkcję. Zakładam, że to funkcja błędu, ale nie wiem jak ją przekształciłeś.

Ta funkcja to dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego, tj.
\(\displaystyle{ \Phi(x)= \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{ \sqrt{2\pi} }e^{- \frac{t^2}{2} } \,\dd t}\)
Zatem \(\displaystyle{ \frac{\dd }{\dd x} \Phi(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{- \frac{x^2}{2} }}\)
Dalej chyba powinno być jasne.

Tak, teraz jest już wszystko ok.
Dzięki

Premislav pisze: Korzystając z twierdzenia Leibniza, różniczkujemy tę całkę po \(\displaystyle{ z}\), otrzymując gęstość rozkładu zmiennej losowej \(\displaystyle{ Z= \frac{X}{Y}}\):
\(\displaystyle{ f(z)=2 \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{2\pi}ye^{- \frac{y^2(1+z^2)}{2} } \,\dd y}\)
Całka, którą otrzymaliśmy, jest już bardzo łatwa do obliczenia, co zostawiam jako ćwiczenie dla Ciebie.
Powinieneś otrzymać rozkład Cauchy'ego, o ile nie pomyliłem się w obliczeniach.
A jeśli nie znasz twierdzenia Leibniza o różniczkowaniu całki względem parametru, to bardzo mnie to kurczę obchodzi.

Skąd w tej całce wzięło się y? Te które nie jest w wykładniku. Dzięki z góry za wyjaśnienie

Sorry, nie widziałem tego pytania. Mamy z poprzednich rachunków
\(\displaystyle{ F(z)=\mathbf{P}\left( \frac{X}{Y} \le z\right) = 2 \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{- \frac{y^2}{2} }\Phi(yz) \,\dd y}\)
Teraz używamy twierdzenia Leibniza o różniczkowaniu całki względem parametru:
... ca%C5%82ki)
i mamy
\(\displaystyle{ \frac{\dd}{\dd z} \left( \frac{2}{\sqrt{2\pi}}e^{- \frac{y^2}{2} }\Phi(yz) \right) =\frac{2}{\sqrt{2\pi}}e^{- \frac{y^2}{2} }\cdot y \varphi(yz)}\)
- korzystamy tu ze wzoru na pochodną funkcji złożonej.
Aha, jak tam nie wprowadziłem takiego oznaczenia, to
\(\displaystyle{ \varphi(t)= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}}\) - jest to funkcja gęstości standardowego rozkładu normalnego. Różniczkując dystrybuantę rozkładu absolutnie ciągłego, dostajemy jego gęstość.

Niech

\(\displaystyle{ Z = U,\ \ V = Y,}\)

\(\displaystyle{ X = U\cdot V, \ \ Y = V.}\)

Przekształcenie odwrotne

\(\displaystyle{ x = u\cdot v, \ \ y = v.}\)

\(\displaystyle{ Jac(u,v) = \frac{ \partial (x,y)}{ \partial (u,v)}= v.}\)

Gęstość łączna

\(\displaystyle{ f_{(U,V)}(u,v) = f_{(X,Y)}(x(u,v),y(u,v)) |Jac(u,v)|= \frac{|v|}{2\pi}e^{\frac{-(u^2 +1)v}{2}}.}\)

Gęstość brzegowa

\(\displaystyle{ f_{U}(u) =\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty}e^{\frac{-v^2(u^2+1)}{2}}|v|dv = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\infty}e^{\frac{-v^2(u^2 +1)}{2}}v dv.}\)

Podstawienia: \(\displaystyle{ v^2 = t, \ \ vdv = \frac{1}{2}dt.}\)

\(\displaystyle{ f_{U}(u) = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\infty}e^{\frac{-t(u^2+1)}{2}}dt = \frac{1}{\pi(u^2+1)}}\) - rozkład Cauchy.