Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
Awatar użytkownika
Skynet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 11 wrz 2007, o 11:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1 raz

Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję

Post autor: Skynet » 18 wrz 2007, o 15:10

Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję:
\(\displaystyle{ \circ\ f(x)=\int\limits_{0}^{x}cos\sqrt{t}dt,}\) obliczyć \(\displaystyle{ f^{(18)}(0)}\)
\(\displaystyle{ \circ\ f(x)=\frac{x}{x^{2}-5x+6},}\) dla jakich x prawdziwe jest to rozwinięcie?
\(\displaystyle{ \circ\ f(x)=x^{6}arctgx,}\) wyznaczyć promień zbieżności otrzymanego szeregu.

Proszę o pomoc.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję

Post autor: max » 18 wrz 2007, o 15:24

1. Skorzystaj z rozwinięcia w szereg funkcji cosinus i z twierdzenia o całkowaniu szeregu potęgowego wyraz za wyrazem.
2. Rozłóż na ułamki proste, rozwiń każdy z nich osobno (korzystając z wzoru na sumę szeregu geometrycznego) i zsumuj rozwinięcia wyraz za wyrazem.
3. Rozwiń najpierw w szereg funkcję \(\displaystyle{ \arctan}\) (np całkując wyraz za wyrazem rozwinięcie jej pochodnej), a następnie wymnóż otrzymane rozwinięcie wyraz po wyrazie przez \(\displaystyle{ x^{6}}\)

Awatar użytkownika
Skynet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 11 wrz 2007, o 11:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1 raz

Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję

Post autor: Skynet » 18 wrz 2007, o 20:52

Z pierwszego otrzymuję coś takiego:

\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{x}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}(\sqrt{t})^{2n}dt\right)=\int\limits_{0}^{x}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}t^{n}dt\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\int\limits_{0}^{x}t^{n}dt=}\)
\(\displaystyle{ =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\left[\frac{1}{n+1}t^{n+1}\right]^{x}_{0}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\frac{1}{n+1}x^{n+1}}\)
Dobrze to policzyłem?

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję

Post autor: max » 19 wrz 2007, o 13:47

Zgadza się.

Mraauuu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 66
Rejestracja: 21 gru 2008, o 13:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Trzebnica
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 11 razy

Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję

Post autor: Mraauuu » 5 kwie 2009, o 20:15

czy musimy pokazywać ze pochodne są ograniczone?

ODPOWIEDZ