Caleczka nieoznaczona

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Aragornik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 12 lut 2007, o 18:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chojnice

Caleczka nieoznaczona

Post autor: Aragornik » 18 wrz 2007, o 08:29

Mam taka calke \(\displaystyle{ \int \frac{x+5}{-x^2-4x-1}}\) i nie wiem czy moje rozwiazanie jest dobre wyszlo mi cos takiego \(\displaystyle{ - \frac{1}{2} ln(-x^2-4x-1) +3 ln (-x^2-4x-1)}\) moglby ktos sprawdzic? ewentualnie jesli bylby bardzo mily zapodac rozwiazane? jesli to jest zle.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Caleczka nieoznaczona

Post autor: scyth » 18 wrz 2007, o 08:51

Chyba źle. W takich przypadkach najłatwiej rozłożyć całkowaną funkcję na sumę ułamków prostych. Po kilku obliczeniach dostajemy, że:
\(\displaystyle{ \frac{x+5}{-x^2-4x-1} = \frac{-7-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}(\sqrt{3}+2-x)}+\frac{-7+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}(\sqrt{3}-2+x)}}\)

Wygląda nie za ciekawie ale za to prosto się całkuje.

Aragornik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 12 lut 2007, o 18:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chojnice

Caleczka nieoznaczona

Post autor: Aragornik » 20 wrz 2007, o 08:41

A czy moglbys cale rozwiazanie pokazac? bede bardzo wdzieczny. Pozdrawiam

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Caleczka nieoznaczona

Post autor: scyth » 20 wrz 2007, o 09:18

Ok, drobna pomyłka:
\(\displaystyle{ \frac{x+5}{-x^2-4x-1} = \frac{\sqrt{3}-1}{2(x+2+\sqrt{3})}-\frac{1+\sqrt{3}}{2(x+2-\sqrt{3})}}\)

\(\displaystyle{ \int \frac{x+5}{-x^2-4x-1} dx = t \frac{\sqrt{3}-1}{2(x+2+\sqrt{3})} dx - t \frac{1+\sqrt{3}}{2(x+2-\sqrt{3})} dx = \\
\frac{\sqrt{3}-1}{2} t \frac{dx}{x+2+\sqrt{3}} - \frac{1+\sqrt{3}}{2} t \frac{dx}{x+2-\sqrt{3}} = \\
= \frac{\sqrt{3}-1}{2} \ln{(x+2+\sqrt{3})} - \frac{1+\sqrt{3}}{2} \ln{(x+2-\sqrt{3})} + C}\)

ODPOWIEDZ