Matematyka.pl

jak znałeżć czemu jest równa pochodna funkcji uwikłanej \(\displaystyle{ y = y(x)}\) w punkcie \(\displaystyle{ 1}\) danej równaniem \(\displaystyle{ x^{2} \cdot y + x \cdot y - 2 \cdot y ^{3} = 0}\)? Odpowiedż jest - \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\)

Możesz znaleźć tą pochodną na 2 sposoby : różniczkując obustronnie to równanie względem \(\displaystyle{ x}\), albo korzystając ze wzoru na pochodną funkcji uwikłanej.

cosinus90, doszedłem do tego: \(\displaystyle{ 2x \cdot y(x) + \frac{ \partial }{ \partial x}[y(x)] + y(x) + x \cdot \frac{ \partial }{ \partial x}[y(x)] - 6 \cdot \frac{ \partial }{ \partial x}[ y^{2}(x) ]}\). Co dalej robić?

Dokładniej powinno być tak:
\(\displaystyle{ 2x \cdot y(x) +x^2 \cdot \frac{ \partial }{ \partial x}[y(x)] + y(x) + x \cdot \frac{ \partial }{ \partial x}[y(x)] - 6 \cdot \frac{ \partial }{ \partial x}[ y(x) ]\cdot y^2(x)=0}\)
Na jedną stronę przenosisz składniki, w których występuje \(\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial x} y(x)}\), na drugą stronę całą resztę tej imprezy. Czyli masz:
\(\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial x}\left[ y(x)\right]\left(x^2+x-6y^2(x) \right) = -2x\cdot y(x)-y(x)}\)
Po podzieleniu tego stronami:
\(\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial x}\left[ y(x)\right] = -\frac{2xy(x)+y(x)}{x^2+x-6y^{2}(x)}}\)

Przy czym użycie zapisu \(\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial x}}\) jest nadużyciem, bo mamy do czynienia z funkcją jednej zmiennej.