Równanie rekurencyjne

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
skony
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 7 wrz 2007, o 20:56
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: dębica
Podziękował: 2 razy

Równanie rekurencyjne

Post autor: skony » 17 wrz 2007, o 22:41

Rozwiązać metodą funkcji tworzących równanie różnicowe:
\(\displaystyle{ a_{n}-3a_{n-1}=1}\)
z warunkiem: \(\displaystyle{ a_{0}=-1}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

jovante
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 204
Rejestracja: 23 cze 2007, o 14:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedlce
Pomógł: 56 razy

Równanie rekurencyjne

Post autor: jovante » 17 wrz 2007, o 23:00

Niech \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=F(x)}\). Wówczas równanie rekurencyjne łatwo przedstawić w postaci:

\(\displaystyle{ F(x)+1-3xF(x)=\frac{x}{1-x}}\)

które po przekształceniach da się zapisać jako:

\(\displaystyle{ F(x)=-\frac{1}{2}(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-3x})}\)

Rozwijając \(\displaystyle{ F(x)}\) w szereg otrzymujemy:

\(\displaystyle{ F(x)=-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1+3^n}{2}x^n}\)

a stąd jawny wzór:

\(\displaystyle{ a_n=-\frac{1+3^n}{2}}\)

ODPOWIEDZ