\(\displaystyle{ a_{n}-3a_{n-1}=1}\)
z warunkiem: \(\displaystyle{ a_{0}=-1}\)Równanie rekurencyjne
-
jovante
- Użytkownik
- Posty: 204
- Rejestracja: 23 cze 2007, o 14:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Siedlce
- Pomógł: 56 razy
Równanie rekurencyjne
Niech \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=F(x)}\). Wówczas równanie rekurencyjne łatwo przedstawić w postaci:
\(\displaystyle{ F(x)+1-3xF(x)=\frac{x}{1-x}}\)
które po przekształceniach da się zapisać jako:
\(\displaystyle{ F(x)=-\frac{1}{2}(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-3x})}\)
Rozwijając \(\displaystyle{ F(x)}\) w szereg otrzymujemy:
\(\displaystyle{ F(x)=-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1+3^n}{2}x^n}\)
a stąd jawny wzór:
\(\displaystyle{ a_n=-\frac{1+3^n}{2}}\)
\(\displaystyle{ F(x)+1-3xF(x)=\frac{x}{1-x}}\)
które po przekształceniach da się zapisać jako:
\(\displaystyle{ F(x)=-\frac{1}{2}(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-3x})}\)
Rozwijając \(\displaystyle{ F(x)}\) w szereg otrzymujemy:
\(\displaystyle{ F(x)=-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1+3^n}{2}x^n}\)
a stąd jawny wzór:
\(\displaystyle{ a_n=-\frac{1+3^n}{2}}\)