Matematyka.pl

Witam, mam problem z rozwiązaniem , a przede wszystkim ze zrozumieniem treści zadania:
W pudełku znajduje się \(\displaystyle{ 8}\) piłeczek oznaczonych kolejnymi liczbami naturalnymi od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 8}\). Losujemy jedną piłeczkę, zapisujemy liczbę na niej występująca, a następnie zwracamy piłeczkę do urny. Tę procedurę wykonujemy jeszcze dwa razy i tym samym otrzymujemy zapisane trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania takich piłeczek, że iloczyn trzech zapisanych liczb jest podzielny przez \(\displaystyle{ 4}\). Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego. Bardzo proszę o pomoc.

\(\displaystyle{ |\Omega|=8^3}\) - za każdym razem mamy osiem możliwości, bo losujemy ze zwracaniem.
Niech \(\displaystyle{ A}\) - zdarzenie polegające na tym, że wylosowaliśmy liczby, których iloczyn jest podzielny przez \(\displaystyle{ 4}\).
Zdarzenie \(\displaystyle{ A}\) oznacza, że wylosowaliśmy dwie liczby dające resztę \(\displaystyle{ 2}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 4}\) albo co najmniej jedną liczbę podzielną przez \(\displaystyle{ 4}\).
Układów, w których nie ma żadnej liczby podzielnej przez \(\displaystyle{ 4}\) jest \(\displaystyle{ 6^3}\) - ograniczamy się do \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3,5,6,7\right\}}\). Zatem układów, w których wystąpiła liczba podzielna przez \(\displaystyle{ 4}\) mamy \(\displaystyle{ 8^3-6^3}\). To teraz zliczmy te układy, w których nie ma liczby podzielnej przez \(\displaystyle{ 4}\), ale za to wystąpiły co najmniej dwie dające resztę \(\displaystyle{ 2}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 4}\). O tym też wygodnie jest myśleć przez dopełnienie: jest
\(\displaystyle{ 4^3}\) układów, w których w ogóle nie wystąpiła liczba parzysta oraz \(\displaystyle{ {2 \choose 1}{3 \choose 1}4^2}\) układów, w których wystąpiła dokładnie raz liczba parzysta, i to dająca resztę \(\displaystyle{ 2}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 4}\) (wybieramy liczbę parzystą \(\displaystyle{ 2}\) albo \(\displaystyle{ 6}\) na \(\displaystyle{ {2 \choose 1}}\)sposobów, wybieramy miejsce, na którym ona będzie na \(\displaystyle{ {3 \choose 1}}\) sposobów, resztę zapełniamy nieparzystymi).
Zatem układów, w których najwyżej raz wystąpiła liczba parzysta i jeśli już, to była to liczba dająca resztę \(\displaystyle{ 2}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 4}\) mamy tyle: \(\displaystyle{ 4^3+6 \cdot 4^2}\).
Czyli takich układów, w których wystąpiła co najmniej dwa razy taka liczba, natomiast nie wystąpiła liczba podzielna przez \(\displaystyle{ 4}\), jest
\(\displaystyle{ 6^3-4^3-6\cdot 4^2}\)
Sumując te dwa przypadki: \(\displaystyle{ |A|=(8^3-6^3)+(6^3-4^3-6 \cdot 4^2)=8^3-4^3-6\cdot 4^2}\). Czyli
\(\displaystyle{ \mathbf{P}(A)= \frac{|A|}{|\Omega|}= \frac{8^3-4^3-6\cdot 4^2}{8^3}= \frac{11}{16}}\)
Zapisywałem to rozwiązanie z 20 minut, długo jak na maturę. Ale może po prostu bardzo wolny jestem. Poza tym nigdy nie lubiłem prawdopodobieństwa klasycznego.

Pudełko to nie urna więc odkładamy do innego przedmiotu piłeczki. Treść jest śmieszna Ale dziękuję za jeden ze sposób rozwiązania zadania-- 9 maja 2017, o 14:42 --A co sądzisz o treści? Rozwiązałem to zadanie z założeniem, iż jest to zwrot piłeczek do pudełka, ale treść jest sporna bo urna nie jest równa pudełku , jak pytałem ludzi co o tym myślą to każdy mówił o innym sposobie rozwiązania ( z powtórzeniami i bez powtórzeń )

misi chyba możesz mieć rację,nie zauważyłem tego i pewnie będę miał źle

Co do treści, faktycznie jest dziwna, ale ja bym przyjął założenie, że to nie Olimpiada Literatury i Języka Polskiego i chodziło o to samo (tj. ze zwracaniem).
Ja, jak widać, liczyłem tak, że kolejność miała znaczenie. Zresztą wydaje mi się to naturalnym podejściem.

chyba zrobiłem bład w obliczeniach,myślicie,że ile mogę dostac pkt za to zadanie jesli napisałem tylko omegę, opisałem zbiór A i dalej liczyłem popełniając błedy i nie piszac komentarzy?

Premislav mam świadomość tylko, jeżeli ktoś siada do zadania rozwiązuje je a na koniec, gdy sprawdza zadanie już któryś raz z kolei z ponownym przeczytaniem treści, odczytuje coś takiego to po np 2 godzinach robienia zadań nie wiadomo o co chodzi. No właśnie to nie Olimpiada Literatury więc nie będziemy się domyślali czy urna to synonim słowa pudełko. Zresztą samo słowo zwracać to oznacza że odkładać coś na swoje miejsce ( w tym wypadku pudełko). Zastanawia mnie czy to zadanie pisał ścisłowiec czy poeta.

Dla mnie oczywiste jest, że pudełko = urna, ale jest to niedopatrzenie CKE - po co tworzyć niepotrzebne wątpliwości? Tutaj ważny jest też czasownik "zwracamy", czyli oddajemy tam, skąd wzięliśmy (a nie np. "odkładamy").

matik24 pisze:chyba zrobiłem bład w obliczeniach,myślicie,że ile mogę dostac pkt za to zadanie jesli napisałem tylko omegę, opisałem zbiór A i dalej liczyłem popełniając błedy i nie piszac komentarzy?

Może jeden.

JK

Były przypadki w historii matur, że nie oceniali jakiegoś zadania z powodu niejasności treści?

Były, ale w tym przypadku nie nastawiałbym się na to przesadnie - nie sądzę, by zostało to uznane za niejasność.

JK