Matematyka.pl

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ m}\), dla których równanie \(\displaystyle{ \left| \left| x-2\right|-12 \right|=m ^{3}+m ^{2}}\) ma dokładnie cztery rozwiązania.
Ktoś mógłby dokładnie wyjaśnić jak rozwiązywać taki typ zadań, opisać krok po kroku.

Zacznijmy od rozpisania przypadków dla tych wartości bezwzględnych.
Wewnętrzna wartość \(\displaystyle{ |x-2|}\) zmienia znak, dla \(\displaystyle{ x=2}\), to zapisujemy gdzieś na boku.
Zewnętrzna wartość zmienia znak, kiedy ta wewnętrzna osiąga wartość \(\displaystyle{ 12}\) (bo wtedy przechodzi przez zero). Wewnętrzna osiągnie \(\displaystyle{ 12}\), jeśli to co pod nią osiągnie \(\displaystyle{ 12}\) lub \(\displaystyle{ -12}\), stąd mamy:
\(\displaystyle{ x-2 = 12 \vee x-2 = -12\\
x = 14 \vee x = -10}\)
mamy więc trzy \(\displaystyle{ x}\), w których te wartości zmieniają znaki i musimy sobie to rozpisać, co się dzieje dokładnie w każdym przedziale, ja to robię w formie tabelki:
\(\displaystyle{ \begin{array}{r|c|c|c|c}
&(-\infty; -10 \rangle & (-10; 2\rangle & (2; 14\rangle & (14; +\infty)\\
\hline
|x-2| & - & - & + & + \\
||x-2|-12| & + & - & - & + \end{array}}\)

jak wyznaczyć te + i - to najłatwiej z zadanego przedziału wziąć dowolną liczbę, np. z pierwszego, mniejszą od -10 czyli np. -100 i podstawić, \(\displaystyle{ -100-2 < 0}\) więc w pierwszej linii daję -, \(\displaystyle{ |-100-2| -12 = |-102| - 12 = 102 - 12 > 0}\) więc + i tak dla każdego przypadku

teraz dla każdej z 4 kolumn tabelki rozpisujemy jej wersję równania, zamieniając wartości bezwzględne na nawiasy poprzedzone znakiem z tabelki, pierwsza będzie:
\(\displaystyle{ +(-(x-2) -12) = -x + 2 -12 = -x-10}\)

I teraz dla jakich \(\displaystyle{ m}\) w tym przedziale istnieje rozwiązanie? Dla takich, że:
\(\displaystyle{ -x-10 = m^3 + m^2\\
x = -m^3 -m^2 - 10}\)wiemy, że w tym konkretnym przedziale\(\displaystyle{ x \le -10}\)to daje nam:
\(\displaystyle{ -m^3 -m^2 - 10 \le -10\\
-m^3 -m^2 \le 0\\
m^3 + m^2 \ge 0\\
m^2(m+1) \ge 0\\
m\in \langle -1; + \infty \rangle}\)

to jest składowa wyniku z pierwszej kolumny tabelki, analogicznie rozpracowujesz 3 pozostałe kolumny i na końcu bierzesz tylko część wspólną wszystkich czterech przedziałów \(\displaystyle{ m}\), które ci wyjdą.

A istnieje jakiś szybszy i łatwiejszy sposób?

Zdaje się, że na maturze można też rozwiązywać takie zadania graficznie. Po kolei dokonujesz przekształceń: wykres funkcji \(\displaystyle{ f(x) = \left| x \right|}\) o dwie jednostki w prawo, potem \(\displaystyle{ 12}\) jednostek w dół i nakładamy kolejny moduł. Następnie przykładasz linijkę, ustawiasz ją równolegle do osi \(\displaystyle{ OX}\) i przesuwajac góra-dół sprawdzasz, dla jakich wartości przecina ona wykres funkcji w \(\displaystyle{ 4}\) miejscach. Wychodzi ci przedział bądź pojedyncze liczby - tyle musi wynosi prawa strona równości.