Matematyka.pl

Mam dwa pytania odnośnie wyznaczania punktów krytycznych a potem minimum, maksimum i punktów siodłowych.
1) Wzór na wyznacznik to \(\displaystyle{ W = f_{xx} \cdot f_{yy} - f^{2}_{xy}}\) (przynajmniej mam tak zapisane), lecz co zrobić, gdy \(\displaystyle{ f_{xy} \neq f_{yx}}\)? Biorąc funkcję \(\displaystyle{ f(x,y) = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + xy}\), wtedy mam \(\displaystyle{ f_{xy} = -\frac{1}{x^{2}}}\) a pochodną \(\displaystyle{ f_{yx} = -\frac{1}{y^{2}}}\), a punkt krytyczny to \(\displaystyle{ (1,1)}\), co mam wtedy zrobić?

2) Jak rozwiązywać takie zadania, gdy jest w środku wartość bezwzględna? Chodzi mi o funkcje typu \(\displaystyle{ f(x,y) = \left| x\right| + \left| y\right|}\), kompletnie nie wiem jak się za to zabrać. Raz, że nie wiem czy rozpatrywać przypadki, a dwa, że widzę, że przy drugich pochodnych wszystko mi się wyzeruje, jak wtedy sprawdzę punkty krytyczne?

1) źle liczysz - kolejność różniczkowania nie ma znaczenia.
2) musisz rozbić na przypadki albo możesz też sprytnie zauważyć że funkcja jest symetryczna względem zarówno \(\displaystyle{ x}\) jak i \(\displaystyle{ y}\) zatem można się ograniczyć do wartości nieujemnych - każde znalezione ekstremum w pierwszej ćwiartce będzie też miało odpowiednik w pozostałych trzech.

Co do drugiego, jak mam znaleźć wtedy ekstremum? Ponieważ biorąc \(\displaystyle{ f(x,y) = x+y}\) nie mam ich żadnych, bo obie pochodne to jedynki.

1) jeśli \(\displaystyle{ x,y>0}\), to z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną:
\(\displaystyle{ x+y+\frac{1}{xy} \ge 3}\), równość zachodzi gdy \(\displaystyle{ x=y=\frac{1}{xy}}\), czyli w punkcie \(\displaystyle{ (1,1)}\). Czyli w \(\displaystyle{ (1,1)}\) mamy lokalne minimum funkcji \(\displaystyle{ f.}\)
Ponieważ punkt \(\displaystyle{ (1,1)}\), to jedyny punkt, w którym zeruje się gradient, więc na tym zadanie się kończy.
2) \(\displaystyle{ |x|+|y| \ge 0}\), równość dla \(\displaystyle{ x=y=0}\)

Jedyne ekstremum masz wtedy w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\).

No tak, to widać z punktem \(\displaystyle{ (0,0)}\), tylko jak ja mam to uzasadnić? Po prostu że \(\displaystyle{ \left| x\right|,\left| y\right| \ge 0}\) stąd wartość minimalna wtedy gdy obie wartości to zero?

Dokładnie tak.