Matematyka.pl

Premislav pisze:mógłby ktoś udowodnić tę obserwację z zadania 33. Bo ja też to zauważyłem, ale udowodnić nie umiem.

Ponieważ ciągi o długości k+1 otrzymywałem przez dopisywanie na ostatnim miejscu 0 lub 1 do posiadanych ciągów o długości k, to wytłumaczenie wzoru: \(\displaystyle{ ilosc(n)=ilosc(n-1)+ilosc(n-2)}\) jest automatyczne.
Mając \(\displaystyle{ ilosc(n-1)}\) ciągów o \(\displaystyle{ n-1}\) elementach otrzymam \(\displaystyle{ ilosc(n-1)}\) ciągów o n elementach kończących się na 01 lub 10 przez dopisanie na końcu każdego n-1 elementowego ciągu cyfry innej niż ostatnia. Ponieważ z ciągów \(\displaystyle{ n-1}\) elementowych dokładnie \(\displaystyle{ ilosc(n-2)}\) kończyła się na 01 lub 10 (z powodu j.w) to dokładnie tyle mogę otrzymać ciągów n elementowych kończących się na 00 lub 11 przez dopisanie takiego samego elementu jakim był zakończony ciąg o długości n-1.

Dla liczby pierwszej `p` oznaczmy \(\QQ_p=\{y\sqrt{p} : y\in \QQ_+\}\).
Zbiory `\QQ_p` są rozłaczne. Określmy funkcję `f` następująco

$$f(x)=\begin{cases}xp & x\in \QQ_p\\ 0 & \text{ poza tym }\end{cases}.$$

Wtedy dla \(x\in\QQ_p\) mamy \(f(x/n)=f(x)/n\to 0\) ale \(f(1/\sqrt{p})=\sqrt{p}\) (bo \(1/\sqrt{p}=\sqrt{p}/p\in\QQ_p \)).

Oznaczmy \(\displaystyle{ a=xyz}\) i przepiszmy ukłąd w postaci
\begin{cases}
\frac{x-1}{x}=\frac{1}{a}\\
\frac{y-1}{y}=\frac{3}{a}\\
\frac{z-1}{z}=\frac{4.5}{a}
\end{cases}
skąd dostajemy
\begin{cases}
\frac{1}{x}=1-\frac{1}{a}=\frac{a-1}{a}\\
\frac{1}{y}=1-\frac{3}{a}=\frac{a-3}{a}\\
\frac{1}{z}=1-\frac{4.5}{a}=\frac{a-4.5}{a}
\end{cases}

Mnożymy trzy równania przez siebie i dostajemy
$$\frac{1}{a}=\frac{(a-1)(a-3)(a-4.5)}{a^3}$$

To równanie ma trzy pierwiastki `a=4-\sqrt{7}`, `a=1.5`, `a=4+\sqrt{7}`.
Stąd wyliczamy trzy trójki rozwiązań.

Zadanie byłoby troszkę ciekawsze, gdyby układ wyglądał o tak:
\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{1}{\sqrt{1+2x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+2y^{2}}}=\frac{\red{2}}{\sqrt{1+2xy}}\\ \sqrt{x(1-2x)}+\sqrt{y(1-2y)}=\frac{2}{9} \end{cases}}\)
Zaczniemy od dziedziny: jak poprzednio, \(\displaystyle{ x\in \left[0, \frac{1}{2}\right], \ y\in\left[0, \frac{1}{2}\right]}\)
Gdy \(\displaystyle{ x=0}\), to z pierwszego równania wynika, że musi być też \(\displaystyle{ y=0}\), ale \(\displaystyle{ (x,y)=(0,0)}\) nie spełnia drugiego równania. Podobnie wykluczamy \(\displaystyle{ y=0}\).
Przyjmujemy więc dalej, że \(\displaystyle{ x>0, \ y>0}\), co pozwala podstawić \(\displaystyle{ x=e^{a}, \ y=e^{b}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ x,y<1}\), więc musi być \(\displaystyle{ a<0, \ b<0}\).
Funkcja
\(\displaystyle{ f(t)=\frac{1}{\sqrt{1+2e^{t}}}}\) jest wklęsła w przedziale \(\displaystyle{ (-\infty, 0)}\):
istotnie, mamy \(\displaystyle{ f'(t)=-\frac{e^{t}}{\left(1+2e^{t}\right)^{\frac{3}{2}}}, \\ f''(t)=-\frac{e^{t}\left(1+2e^{t}\right)^{\frac{3}{2}}-e^{2t}\cdot 3\left(1+2e^{t}\right)^{\frac{1}{2}}}{\left(1+2e^{t}\right)^{3}}\\=\frac{e^{t}\left(e^{t}-1\right)}{\left(1+2e^{t}\right)^{\frac{5}{2}}}<0}\)
wszak \(\displaystyle{ 0<e^{t}<1}\) w \(\displaystyle{ (-\infty, 0)}\)
Wobec tego na mocy nierówności Jensena zachodzi
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{1+2x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+2y^{2}}}=f(2a)+f(2b)\le 2f\left(\frac{2a+2b}{2}\right)=\frac{2}{\sqrt{1+2e^{a+b}}}=\frac{2}{\sqrt{1+2xy}}}\)
Ponieważ z ujemności drugiej pochodnej w rzeczonym przedziale wynika wklęsłość \(\displaystyle{ f}\) w ścisłym sensie, więc równość w powyższej nierówności zachodzi tylko gdy \(\displaystyle{ a=b}\), tj. \(\displaystyle{ \ln x=\ln y}\), stąd \(\displaystyle{ x=y}\).
Czyli pierwsze równanie daje nam \(\displaystyle{ x=y}\), podstawiamy to do drugiego równania i dostajemy
\(\displaystyle{ 2\sqrt{x(1-2x)}=\frac{2}{9}\\x(1-2x)=\frac{1}{81}\\162x^{2}-81x+1=0}\)
Wolfram mi rozwiązał to równanie kwadratowe, wychodzi z tego
\(\displaystyle{ x=\frac{1}{36}\left(9-\sqrt{73}\right)\vee x=\frac{1}{36}\left(9+\sqrt{73}\right)}\)
Obydwie te liczby należą do dziedziny, stąd rozwiązania poprawionego układu to
\(\displaystyle{ x=y=\frac{1}{36}\left(9-\sqrt{73}\right)}\)
oraz
\(\displaystyle{ x=y=\frac{1}{36}\left(9+\sqrt{73}\right)}\)

Należy też zwrócić uwagę w tym temacie na reprezentację digrafów, multigrafów itp. przykład:

Najpierw można przyjrzeć się uważnie równaniu
\(\displaystyle{ a^{2}+3b^{2}=x^{3}-1}\)
Zauważmy, że jeśli liczby \(\displaystyle{ \alpha, \beta\in \ZZ}\) można przedstawić w postaci \(\displaystyle{ x^{2}+3y^{2}}\) dla \(\displaystyle{ x,y}\) całkowitych, to ich iloczyn również, ponieważ
\(\displaystyle{ \left(a^{2}+3b^{2}\right)\left(c^{2}+3d^{2}\right)=(ac+3bd)^{2}+3(bc-ad)^{2}}\).
Ponadto nietrudno zauważyć, że \(\displaystyle{ 4\left(x^{2}+x+1\right)=(2x+1)^{2}+3\cdot 1^{2}}\).
Połóżmy więc
\(\displaystyle{ x-1=4\left(p^{2}+3q^{2}\right)}\), a wówczas
\(\displaystyle{ x^{3}-1=(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)\\=\left(p^{2}+3q^{2}\right)\left((2x+1)^{2}+3\cdot 1^{2}\right)\\=\left(p(2x+1)+3q\right)^{2}+3\left(p-q(2x+1)\right)^{2}\\=\left(p\left(8p^{2}+24q^{2}+3\right)+3q\right)^2+3\left(p-q\left(8p^2+24q^2+3\right)\right)^2}\)
czyli dla
\(\displaystyle{ a=p\left(8p^2+24q^2+3\right)+3q, \ b=p-q\left(8p^2+24q^2+3\right)}\)
znajdziemy takie \(\displaystyle{ x\in \ZZ}\), że
\(\displaystyle{ a^2+3b^2=x^3-1}\)

Teraz trzeba jedynie tak dobrać wartości \(\displaystyle{ p,q}\), aby zaszło
\(\displaystyle{ a-b=y^3, \ y\in \ZZ}\)
Ponieważ dla takich \(\displaystyle{ a,b}\) jak wyżej jest
\(\displaystyle{ a-b=(p+q)\left(8p^2+24q^2+3\right)+3q-p}\), więc bardzo wygodnie byłoby, gdyby zaszło np.
\(\displaystyle{ \begin{cases}p+q=0\\3q-p=y^3\end{cases}}\)
Niech zatem \(\displaystyle{ q=2u^3, \ p=-2u^3}\) i wszystko gro i bucy.

Dla pewności można przeliczyć ręcznie lub sprawdzić dzięki uprzejmości wujka Wolframa (bo mogłem wszak pomylić się w rachunkach), że
dla \(\displaystyle{ a=-2u^3\left(128u^6+3\right)+6u^3, \ b=-2u^3-2u^3\left(128u^6+3\right)}\)
jest
\(\displaystyle{ a-b=(2u)^3, \\a^2+3b^2+1=\left(64u^6+1\right)^3}\)

Rzecz jasna wielomian dziewiątego stopnia \(\displaystyle{ W(u)=-2u^3\left(128u^6+3\right)+6u^3}\) ma współczynniki całkowite i przyjmuje wobec tego (jako niestały wielomian o współczynnikach całkowitych) nieskończenie wiele wartości całkowitoliczbowych, c.k.d.