Zbieżność szeregu o wyrazach dodatnich

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Awatar użytkownika
Skynet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 11 wrz 2007, o 11:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1 raz

Zbieżność szeregu o wyrazach dodatnich

Post autor: Skynet » 17 wrz 2007, o 17:29

Żeby nie zakładać nowego tematu zapytam się tutaj.
Jak zbadać zbieżność tego szeregu?

\(\displaystyle{ \sum^{\infty}_{n=3} \frac{ln \ n}{n^{2}}}\)

Mimo wszystko następnym razem załóż nowy temat
max
Ostatnio zmieniony 17 wrz 2007, o 17:40 przez Skynet, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Zbieżność szeregu o wyrazach dodatnich

Post autor: max » 17 wrz 2007, o 17:42

Kryterium porównawcze z szeregiem o wyrazie ogólnym:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n^{s}}}\), gdzie \(\displaystyle{ 1< s < 2}\) rozstrzyga - zbieżny.

Awatar użytkownika
Skynet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 11 wrz 2007, o 11:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1 raz

Zbieżność szeregu o wyrazach dodatnich

Post autor: Skynet » 17 wrz 2007, o 17:45

Nie rozumiem. Chodzi Ci aby w ten sposób ograniczyć wyjściowy szereg czy jak?

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Zbieżność szeregu o wyrazach dodatnich

Post autor: max » 17 wrz 2007, o 17:50

Tak, ponieważ dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\) będzie:
\(\displaystyle{ \frac{\ln n}{n^{2}} < \frac{1}{n^{s}}}\)

Jak chcesz inaczej, to możesz skorzystać z kryterium Raabego.

Awatar użytkownika
Skynet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 11 wrz 2007, o 11:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1 raz

Zbieżność szeregu o wyrazach dodatnich

Post autor: Skynet » 17 wrz 2007, o 17:59

No ale dla s = 2 zachodzi sprzeczność bo ln n > 1 dla n > 3.

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Zbieżność szeregu o wyrazach dodatnich

Post autor: max » 17 wrz 2007, o 18:02

Dlatego nierówność jest ostra, więc nie może być \(\displaystyle{ s = 2}\)

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Zbieżność szeregu o wyrazach dodatnich

Post autor: Emiel Regis » 17 wrz 2007, o 18:05

no ale max z lewej mianownik bedziesz miał mniejszy, licznik wiekszy niz z prawej, no to ułamek tym bardziej wiekszy...

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Zbieżność szeregu o wyrazach dodatnich

Post autor: max » 17 wrz 2007, o 18:05

Mianownik będzie większy.

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Zbieżność szeregu o wyrazach dodatnich

Post autor: Emiel Regis » 17 wrz 2007, o 18:08

a słusznie słusznie, zwracam honor, będę uważniej czytał przedział do jakiego nalezy s; )

Awatar użytkownika
Skynet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 11 wrz 2007, o 11:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1 raz

Zbieżność szeregu o wyrazach dodatnich

Post autor: Skynet » 17 wrz 2007, o 18:31

A taki przypadek?

\(\displaystyle{ \sum^{\infty}_{n=1}n\frac{3^{n}+2^{n}}{4^{n}+2^{n}}}\)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Zbieżność szeregu o wyrazach dodatnich

Post autor: max » 17 wrz 2007, o 18:38

Tu wystarczy kryterium d'Alemberta, albo Cauchy'ego (zbieżny).

Awatar użytkownika
Skynet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 11 wrz 2007, o 11:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1 raz

Zbieżność szeregu o wyrazach dodatnich

Post autor: Skynet » 17 wrz 2007, o 18:53

\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}={ \lim_{n\to } ft(\frac{n+1}{n}\times\frac{3^{n+1}+2^{n+1}}{3^{n}+2^{n}}\times\frac{4^{n}+2^{n}}{4^{n+1}+2^{n+1}}\right)}\)

Otrzymuję coś takiego i nie wiem za bardzo co dalej zrobić zwłaszcza że pierwszy człon jest większy od 1 drugi podobnie i trzeci mniejszy od 1.

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Zbieżność szeregu o wyrazach dodatnich

Post autor: max » 17 wrz 2007, o 18:57

Pierwszy czynnik zbiega do \(\displaystyle{ 1}\), drugi do \(\displaystyle{ 3}\) a trzeci do \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)...

Awatar użytkownika
Skynet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 11 wrz 2007, o 11:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1 raz

Zbieżność szeregu o wyrazach dodatnich

Post autor: Skynet » 17 wrz 2007, o 19:33

A czy ten przykład rozwiązałem poprawnie?

\(\displaystyle{ \sum^{\infty}_{n=1}\frac{ln(1+2n)}{n2^{n}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ln(1+2n)}{n2^{n}}\leqslant\frac{1+2n}{n2^{n}}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } ft(\frac{1+2n}{n2^{n}} \right)=\lim_{n\to } ft(\frac{\frac{1}{n}+2}{2^{n}} \right)=0}\)

zbieżny

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Zbieżność szeregu o wyrazach dodatnich

Post autor: max » 17 wrz 2007, o 19:38

Wykazałeś tylko, że ten szereg spełnia warunek konieczny zbieżności.

ODPOWIEDZ