Matematyka.pl

1. Przyjmijmy, że mamy szachownicę o polach, których krawędź ma długość \(\displaystyle{ a}\). Obliczyć prawdopodobieństwo, że rzucona moneta o promieniu \(\displaystyle{ r\ (r<a)}\) przetnie co najwyżej jedną krawędź?

2. Pewne schronisko w górach ma tylko trzy pokoje: 4−osobowy, 3−osobowy i 2−osobowy. Nagle pojawia się w nim sześcioosobowa wycieczka i losowo zajmuje miejsca. Obliczyć prawdopodobieństwo, że jeden z pokoi pozostanie pusty.

Bardzo prosiłabym po prostu o rozwiązanie tych dwóch zadań, potrzebuję mieć je pilnie a na ich podstawie rozwiążę całą resztę.

Rozpatrzmy jedno pole szachownicy i miejsce gdzie upada środek monety
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}

\fill[yellow](0,0)--(5,0)--(5,5)--(0,5)--(0,0);
\fill[white](0,2)--(0,3)--(5,3)--(5,2)--(0,2);
\fill[white](2,0)--(3,0)--(3,5)--(2,5)--(2,0);
\fill[green](2,2)--(2,3)--(3,3)--(3,2)--(2,2);
\draw (0,0)--(5,0)--(5,5)--(0,5)--(0,0);
\draw[blue][dashed] (2.1,1.7)circle(2);
\fill[blue] (2.1,1.7)circle(0.04);

\end{tikzpicture}}\)
Gdy środek monety jest w obszarze zielonym to krawędź monety nie przecina żadnego brzegu pola szachownicy, w żółtym - przecina dwa brzegi, a w białym przecina tylko jeden.
Szukane prawdopodobieństwo to stosunek pola białego do pola kwadratu.
\(\displaystyle{ P= \frac{4(a-2r)r}{a^2}}\)

2. Zakładam że wylosowanie pokojów 4,3,2 jest jednakowo prawdopodobne.
\(\displaystyle{ \left| \Omega\right|=3!=6\\
A'=\left\{ (2,3,4),(3,2,4)\right\}\\
P(A)=1-P(A')=1- \frac{2}{6}= \frac{2}{3}}\)

kerajs pisze:Rozpatrzmy jedno pole szachownicy i miejsce gdzie upada środek monety
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}

\fill[yellow](0,0)--(5,0)--(5,5)--(0,5)--(0,0);
\fill[white](0,2)--(0,3)--(5,3)--(5,2)--(0,2);
\fill[white](2,0)--(3,0)--(3,5)--(2,5)--(2,0);
\fill[green](2,2)--(2,3)--(3,3)--(3,2)--(2,2);
\draw (0,0)--(5,0)--(5,5)--(0,5)--(0,0);
\draw[blue][dashed] (2.1,1.7)circle(2);
\fill[blue] (2.1,1.7)circle(0.04);

\end{tikzpicture}}\)
Gdy środek monety jest w obszarze zielonym to krawędź monety nie przecina żadnego brzegu pola szachownicy, w żółtym - przecina dwa brzegi, a w białym przecina tylko jeden.
Szukane prawdopodobieństwo to stosunek pola białego do pola kwadratu.
\(\displaystyle{ P= \frac{4(a-2r)r}{a^2}}\)

To byłaby prawda, gdyby było \(\displaystyle{ r<\frac12a}\) , ale jest \(\displaystyle{ r<a}\)

Shera pisze:1. Przyjmijmy, że mamy szachownicę o polach, których krawędź ma długość \(\displaystyle{ a}\). Obliczyć prawdopodobieństwo, że rzucona moneta o promieniu \(\displaystyle{ r\ (r<a)}\) przetnie co najwyżej jedną krawędź?

Sądziłem, że zarówno wzór, jak i rysunek wystarczająco to wyjaśniają. Ale faktycznie, mogłem napisać dokładniej:
\(\displaystyle{ P=\begin{cases} 0 &\text{dla } \ \ \frac{a}{2} \le r < a\\ \frac{4(a-2r)r}{a^2} &\text{dla } \ \ r<\frac{a}{2} \end{cases}}\)