zbieżność szeregu z parametrem

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
sporny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 17 wrz 2007, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 1 raz

zbieżność szeregu z parametrem

Post autor: sporny » 17 wrz 2007, o 17:00

Proszę o pomoc

Dla jakich wartości parametru 'a' szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^n}{n^2+1}}\) jest zbieżny, bezwzględnie zbieżny i warunkowo zbieżny

Poprawa tematu.
max
Ostatnio zmieniony 17 wrz 2007, o 17:09 przez sporny, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

zbieżność szeregu z parametrem

Post autor: max » 17 wrz 2007, o 17:13

Z warunku koniecznego zbieżności wynika, że szereg jest rozbieżny jeśli \(\displaystyle{ |a| > 1}\), czyli dla \(\displaystyle{ a\in (-\infty, -1)\cup (1, +\infty)}\)
Z kryterium porównawczego z szeregiem \(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}}\) wynika, że szereg jest zbieżny bezwzględnie jeśli \(\displaystyle{ |a| qslant 1}\), czyli dla \(\displaystyle{ a [-1, 1]}\).

sporny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 17 wrz 2007, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 1 raz

zbieżność szeregu z parametrem

Post autor: sporny » 17 wrz 2007, o 17:25

a mozesz rozwinac swoj tok myslenia???

rozpisac kryteria?

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

zbieżność szeregu z parametrem

Post autor: max » 17 wrz 2007, o 17:32

Nieszczególnie jest co rozpisywać:

Jeśli \(\displaystyle{ |a| > 1}\), to
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\frac{|a|^{n}}{n^{2} + 1} = +\infty 0}\)
więc nie może być:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\frac{a^{n}}{n^{2} + 1} = 0}\),
bo wtedy musiało by być również:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to }\left|\frac{a^{n}}{n^{2} + 1}\right| = \lim_{n\to }\frac{|a|^{n}}{n^{2} + 1} = 0}\)
co jest nieprawdą. Zatem warunek konieczny nie zachodzi.

A jeśli \(\displaystyle{ |a|\leqslant 1}\), to dla każdego \(\displaystyle{ n qslant 1}\) mamy:
\(\displaystyle{ \left|\frac{a^{n}}{n^{2} + 1}\right| < \frac{1}{n^{2}}}\)
i powołując się na kryterium porównawcze ze zbieżnym szeregiem \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}}\) wnioskujemy o zbieżności szeregu utworzonego z wartości bezwzględnych wyrazów badanego szeregu, czyli o jego zbieżności bezwzględnej.

sporny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 17 wrz 2007, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 1 raz

zbieżność szeregu z parametrem

Post autor: sporny » 17 wrz 2007, o 18:11

ok. dzieki

spojrz tez na te zadania jak mozesz

Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f:R^2 R$ $ f(x,y)= x^2+2xy+y}\)
Znaleźć jej najmniejszą i największą wartość na zbiorze [-1,1]*[-1,1]

i

rozwiazac uklad rownan

/2x-z=0
x+y+z+3a=0

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

zbieżność szeregu z parametrem

Post autor: max » 17 wrz 2007, o 18:19

Załóż nowe tematy w odpowiednich działach, bo te zadania nie mają z szeregami i ciągami liczbowymi zbyt wiele wspólnego.

ODPOWIEDZ