Matematyka.pl

Dana jest funkcja \(\displaystyle{ e^{x}}\) na przedziale \(\displaystyle{ (0, 10).}\) Obliczyć przybliżenie tej funkcji. Należy wybrać odpowiednie wielomiany jako funkcje bazowe.

Czy ktoś mógłby wytłumaczyć mi algorytm wykonania takiego zadania?
W jaki sposób dobierać wielomiany? Proszę o pomoc bądź rozwiązanie.

Zapewne chodzi tu o przybliżenie tej funkcji czymś na kształt szeregu Fouriera, tj. wielomianami ortogonalnymi. Stosując procedurę ortogonalizacji Grama-Schmidta do ciągu jednomianów \(\displaystyle{ (1,x,x^2,\dots)}\) możemy wyznaczyć wielomiany ortogonalne na przedziale \(\displaystyle{ (1,10)}\) wg iloczynu skalarnego \(\displaystyle{ \langle f,g\rangle=\int\linits_1_{10} f(x)g(x)\,\dd x.}\) Ale i tak nie zrobimy tego dla wszystkich wielomianów tak, jak mamy jasny układ trygonometryczny. Więc pozostaje zadanie aproksymacji wielomianem odpowiedniego stopnia. Współczynniki Fouriera chyba wiesz jak policzyć...

Dowodzi się, że aproksymacja szeregiem Fouriera (ortonormalnym) jest najlepsza średniokwadratowo.