Potęgi,reszty, szukanie cyfry jedności

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Awatar użytkownika
claher
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 118
Rejestracja: 17 wrz 2007, o 14:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lubień
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 3 razy

Potęgi,reszty, szukanie cyfry jedności

Post autor: claher » 17 wrz 2007, o 15:00

1. Oblicz

a)2001\(\displaystyle{ \frac{5}{19}}\) * 2002\(\displaystyle{ \frac{5}{19}}\) - 2000\(\displaystyle{ \frac{5}{19}}\)*2003\(\displaystyle{ \frac{5}{19}}\)

b) Znajdź cyfrę jedności liczby \(\displaystyle{ 2003^{2003}}\)

2.Gdy liczbę 4373 podzielono przez liczbę n, to otrzymano resztę 8. Gdy liczbę 826 podzielono przez liczbę n, to otrzymano resztę 7. Wyznacz n.

3.Symbol n! gdzie n jest liczbą naturalną , oznacza iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n. Dodatkowo przyjmujemy, że 0! = 1 i 1! = 1
a) Znajdź dwie ostatnie cyfry liczby 1!+2!+3!+...+20!.
b) Znajdź największą liczbę naturalną n, dla której 25! jest podzielne przez \(\displaystyle{ 10^n}\) .
Odpowiedzi uzasadnij.

4.Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej k > 3, liczba postaci \(\displaystyle{ k^{3} +3k^{2}-4k-12}\) jest iloczynem, co najmniej czterech liczb pierwszych.

5.Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych a i b spełniony jest warunek:
\(\displaystyle{ a^2+ab+b^2 > 0}\)


Jestem nowy na forum i bardzo proszę o napisanie odpowiedzi do tych zadań.
Ostatnio zmieniony 17 wrz 2007, o 16:29 przez claher, łącznie zmieniany 3 razy.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Tristan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2357
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 556 razy

Potęgi,reszty, szukanie cyfry jedności

Post autor: Tristan » 17 wrz 2007, o 15:08

Ad 5:
Jeśli a i b są tego samego znaku, to \(\displaystyle{ ab \geq 0}\) i \(\displaystyle{ a^2 +ab +b^2 = a^2 - 2ab+b^2 +3ab=(a-b)^2 +3ab > 3ab \geq 0}\).
Jesłi a i b są różnych znaków, to \(\displaystyle{ ab \leq 0}\) i \(\displaystyle{ a^2 +ab+b^2 = a^2 +2ab+b^2 - ab = (a+b)^2 - ab >-ab q 0}\).

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6523
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

Potęgi,reszty, szukanie cyfry jedności

Post autor: mol_ksiazkowy » 17 wrz 2007, o 15:12

Tristan napisał:
Jeśli a i b są tego samego znaku, to
Mozna tez ujac to w całosc wg wzoru:
\(\displaystyle{ a^2+ab+b^2 =(a+\frac{b}{2})^2+\frac{3b^2}{4}}\)

Awatar użytkownika
claher
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 118
Rejestracja: 17 wrz 2007, o 14:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lubień
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 3 razy

Potęgi,reszty, szukanie cyfry jedności

Post autor: claher » 17 wrz 2007, o 15:16

a punkt 4 ?
Ostatnio zmieniony 17 wrz 2007, o 15:31 przez claher, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Tristan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2357
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 556 razy

Potęgi,reszty, szukanie cyfry jedności

Post autor: Tristan » 17 wrz 2007, o 15:28

Ad 1:
a) Zauważ, że \(\displaystyle{ 2001 \frac{5}{19} 2002 \frac{5}{19} - 2000 \frac{5}{19} 2003 \frac{5}{19}=(2001+ \frac{5}{19} )(2002+ \frac{5}{19}) - (2000+ \frac{5}{19})(2003 + \frac{5}{19})=2001 2002 + 2001 \frac{5}{19} + 2002 \frac{5}{19} + ( \frac{5}{19})^2 -( 2000 2003 + 2000 \frac{5}{19} + 2003 \frac{5}{19} + (\frac{5}{19})^2)=2001 2002 +4003 \frac{5}{19} +( \frac{5}{19})^2 - 2000 2003 - 4003 \frac{5}{19} - ( \frac{5}{19})^2=2001 2002 - 2000 2003=(2000 +1) 2002 - 2000\cdot (2002+1)= 2000 2002 +2002 - 2000 2002 - 2000=2002 -2000=2}\)
b) \(\displaystyle{ 2003^{2003} \equiv 3^{2003} =3^3 3^{2000}=27 81^{500} \equiv 7 81^{500} \equiv 7 1^{500}=7 (\mod 10)}\)
Ad 2:
Z treści zadania wynika, że istnieją takie liczby naturalne \(\displaystyle{ k,l}\), że zachodzą równania \(\displaystyle{ 4373=kn+8, 826=ln+7}\). Pomnóżmy pierwsze rónanie przez l, a drugie przez k. Mamy \(\displaystyle{ 4373l=lkn+8l , 826k=lkn+7k}\). Odejmijmy te dwa równania od siebie, a otrzymamy \(\displaystyle{ 4373l-826k=8l-7k}\), czyli \(\displaystyle{ 4365l=819k}\). Możemy podzielić to stronami przez 9, otrzymując \(\displaystyle{ 485l=91k}\). Ponieważ liczby 91 i 485 nie mają żadnego wspólnego czynnika większego od 1, ( czyli są względnie pierwsze), to aby dane równanie miało rozwiązanie, to musi zachodzić \(\displaystyle{ l=91, k=485}\). Powracamy teraz do naszych podstatowych dwóch równań. Podstawiając np. do drugiego l=91 otrzymujemy \(\displaystyle{ 826=91n+7}\), skąd \(\displaystyle{ 819=91n}\), czyli \(\displaystyle{ n=9}\).

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6523
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

Potęgi,reszty, szukanie cyfry jedności

Post autor: mol_ksiazkowy » 17 wrz 2007, o 17:09

muszkatek napisał:
a punkt 4 ?
nie prawdziwy...
np dla k=5

[ Dodano: 17 Września 2007, 18:40 ]
ad 1 b
wsk
\(\displaystyle{ 2001^{2000} \equiv \ 1 (mod \ 10)}\)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Potęgi,reszty, szukanie cyfry jedności

Post autor: max » 17 wrz 2007, o 19:12

mol_ksiazkowy pisze:muszkatek napisał:
a punkt 4 ?
nie prawdziwy...
np dla k=5 :arrow:
Ale jeśli by założyć, że nie wymagamy, aby te liczby pierwsze były różne (nie ma takiego warunku w treści zadania), to:
\(\displaystyle{ k^{3} + 3k - 4k - 12 = k^{3} - 2k^{2} + 5k^{2} - 10k + 6k - 12 = \\
= (k - 2)(k^{2} + 5k + 6) = (k-2)(k + 2)(k + 3)}\)

dla \(\displaystyle{ k > 3, k \mathbb{N}}\) jest to iloczyn trzech liczb naturalnych, przy czym jeden z czynników: \(\displaystyle{ k + 2}\) lub \(\displaystyle{ k + 3}\) jest liczbą parzystą różną od \(\displaystyle{ 2}\), czyli musi mieć co najmniej \(\displaystyle{ 2}\) (niekoniecznie różne) czynniki pierwsze, pozostałe czynniki mają w rozkładzie kanonicznym co najmniej jeden czynnik pierwszy, a zatem liczba:
\(\displaystyle{ k^{3} + 3k - 4k - 12}\) jest iloczynem co najmniej 4 (niekoniecznie różnych) liczb pierwszych.

[ Dodano: 17 Września 2007, 19:35 ]
3.
a) szukamy takiego całkowitego \(\displaystyle{ 0 qslant a < 100}\), że \(\displaystyle{ s\equiv a od{100}}\)
gdzie \(\displaystyle{ s = 1! + 2! + 3! + \ldots + 20!}\)
Teraz zacznij od tego, że:
\(\displaystyle{ 1! = 1 \equiv 1\pmod{100}}\)
i skorzystaj z tego, że obie strony kongruencji można mnożyć przez stałą całkowitą, oraz z tego, że kongruencje można dodawać stronami.
b) Zauważ, że \(\displaystyle{ 10 = 2\cdot 5}\), więc \(\displaystyle{ 10^{n} = 2^{n}\cdot 5^{n}}\) i szukaj liczby piątek w rozkładzie na czynniki liczby \(\displaystyle{ 25!}\) (bo dwójek i tak będzie więcej).

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6523
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2587 razy
Pomógł: 683 razy

Potęgi,reszty, szukanie cyfry jedności

Post autor: mol_ksiazkowy » 17 wrz 2007, o 23:23

2.Gdy liczbę 4373 podzielono przez liczbę n, to otrzymano resztę 8. Gdy liczbę 826 podzielono przez liczbę n, to otrzymano resztę 7. Wyznacz n.

\(\displaystyle{ 4373=an+8}\)
\(\displaystyle{ 826=bn+7}\)
n=?

Awatar użytkownika
Tristan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2357
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 556 razy

Potęgi,reszty, szukanie cyfry jedności

Post autor: Tristan » 17 wrz 2007, o 23:25

Molu_ksiazkowy - zadanie to już zostało rozwiązane, radzę się na przyszłość wczytywać w to, co piszą inni przed Tobą

Awatar użytkownika
claher
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 118
Rejestracja: 17 wrz 2007, o 14:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lubień
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 3 razy

Potęgi,reszty, szukanie cyfry jedności

Post autor: claher » 18 wrz 2007, o 20:45

[ Dodano: 17 Września 2007, 19:35 ]
3.
a) szukamy takiego całkowitego \(\displaystyle{ 0 qslant a < 100}\), że \(\displaystyle{ s\equiv a od{100}}\)
gdzie \(\displaystyle{ s = 1! + 2! + 3! + \ldots + 20!}\)
Teraz zacznij od tego, że:
\(\displaystyle{ 1! = 1 \equiv 1\pmod{100}}\)
i skorzystaj z tego, że obie strony kongruencji można mnożyć przez stałą całkowitą, oraz z tego, że kongruencje można dodawać stronami.
b) Zauważ, że \(\displaystyle{ 10 = 2\cdot 5}\), więc \(\displaystyle{ 10^{n} = 2^{n}\cdot 5^{n}}\) i szukaj liczby piątek w rozkładzie na czynniki liczby \(\displaystyle{ 25!}\) (bo dwójek i tak będzie więcej).
Pogrubiłem rzeczy których nie rozumiem.
Bardzo proszę o odpowiedź. Tak abym mógł zrozumieć kongruencje i przy okazi skończyć zadanie

Awatar użytkownika
Tristan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2357
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 556 razy

Potęgi,reszty, szukanie cyfry jedności

Post autor: Tristan » 18 wrz 2007, o 21:06

Ad 3a):
Wiemy już, że \(\displaystyle{ 1! \equiv 1 ( \mod 100)}\) . Pomnóżmy tę kongruencję stronami przez 2. Otrzymujemy, że \(\displaystyle{ 2! \equiv 1 2=2 ( \mod 100)}\). Pomnóżmy przez 3, a potem przez 4 itd. Otrzymamy kolejno:
\(\displaystyle{ 3! \equiv 2 3=6 ( \mod 100) \\ 4! \equiv 6 4=24 ( \mod 100) \\ 5! \equiv 24 5=120 \equiv 20 ( \mod 100) \\ 6! \equiv 20 6 =120 \equiv 20 ( \mod 100) \\ 7! \equiv 20 7 = 140 \equiv 40 ( \mod 100) \\ 8! \equiv 40 8=320 \equiv 20 (\mod 100)}\)
Itd. itd.
W ten sposób łatwo obliczysz do czego przystają kolejne silnie, aż do 20!. A potem to po prostu zsumuj

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Potęgi,reszty, szukanie cyfry jedności

Post autor: max » 19 wrz 2007, o 13:49

Co do 3 b), to chodziło mi o rozkład na czynniki pierwsze.

ODPOWIEDZ