Zmiana iteracji w całce podwójnej

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
kmaro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 12 wrz 2007, o 19:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kraków

Zmiana iteracji w całce podwójnej

Post autor: kmaro » 17 wrz 2007, o 13:15

mam całkę:

\(\displaystyle{ \int\limits_{-4}^{0}
[\int\limits_{-\sqrt{x+4}}^{\sqrt{x+4}}
f(x,y)dy ] dx
+
t\limits_{0}^{5}
[\int\limits_{-\sqrt{x+4}}^{2-x}
f(x,y)dy ] dx}\)


Czy ona po zmianie iteracji wygląda tak?:

\(\displaystyle{ \int\limits_{-4}^{0}dy
t\limits_{-y^2-4}^{y^2-4}
f(x,y)dx
+
t\limits_{0}^{5}dy
t\limits_{-y^2-4}^{2-y}
f(x,y)dx}\)



????
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

rObO87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 586
Rejestracja: 16 sty 2005, o 20:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 4 razy

Zmiana iteracji w całce podwójnej

Post autor: rObO87 » 18 wrz 2007, o 00:55

Dobrze napisałeś kolejność dydx? Nie tak powinno być?

\(\displaystyle{ \int\limits_{-4}^{0}
t\limits_{-\sqrt{x+4}}^{\sqrt{x+4}}
f(x,y)dxdy}\)


obszar zielony

\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{5}
t\limits_{-\sqrt{x+4}}^{2-x}
f(x,y)dxdy}\)


obszar czerwony



Jak widać, "suma" tych obszarów nie jest normalna względem osi OX, dlatego mamy 2 całki. By zmienić iterację "obracamy" układ i mamy:




\(\displaystyle{ \int\limits_{-2}^{2}
t\limits_{\sqrt{y^2-4}}^{2-y}
f(x,y)dydx}\)


(tak mi się wydaje )

W zadaniach tego typu zawsze staraj się naszkicować jak wygląda obszar całkowania

kmaro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 12 wrz 2007, o 19:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kraków

Zmiana iteracji w całce podwójnej

Post autor: kmaro » 18 wrz 2007, o 13:40

kolejność dydx jest poprawna tak było w zadaniu, no zobaczymy jak mi egzamin poszedł, ale to dopiero jutro

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Zmiana iteracji w całce podwójnej

Post autor: luka52 » 18 wrz 2007, o 14:31

Tak, kolejność "dydx" w pierwszym poście kmaro jest OK.

Natomiast po zamianie kolejności całkowania, całka powinna wyglądać tak:
\(\displaystyle{ \int\limits_{-3}^2 \, \mbox{d}y t\limits_{y^2 - 4}^{2-y}f(x,y) \, }\)

rObO87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 586
Rejestracja: 16 sty 2005, o 20:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 4 razy

Zmiana iteracji w całce podwójnej

Post autor: rObO87 » 18 wrz 2007, o 16:10

a z kąd -3 ?

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Zmiana iteracji w całce podwójnej

Post autor: luka52 » 18 wrz 2007, o 16:12

Bo jest to "ygrekowa" współrzędna jednego z punktów przecięcia się tych dwóch krzywych.

rObO87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 586
Rejestracja: 16 sty 2005, o 20:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 4 razy

Zmiana iteracji w całce podwójnej

Post autor: rObO87 » 18 wrz 2007, o 16:50

Faktycznie, na wykresie widać.

kmaro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 12 wrz 2007, o 19:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kraków

Zmiana iteracji w całce podwójnej

Post autor: kmaro » 18 wrz 2007, o 18:44

Wielkie dzieki panowie.Juz duzo pózniej po napisaniu tego posta krażylem koło tego rozwiazania i juz wiem gdzie byka robiłem. wielkie dzieki luka52, rObO87, dzieki za wykresy.

ODPOWIEDZ