rozwiąż równanie trygonometryczne

Własności funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych. Tożsamości. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Awatar użytkownika
Vixy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1830
Rejestracja: 3 lut 2006, o 15:47
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z gwiazd
Podziękował: 302 razy
Pomógł: 151 razy

rozwiąż równanie trygonometryczne

Post autor: Vixy » 17 wrz 2007, o 13:07

\(\displaystyle{ sin\frac{x}{2}=sin2x}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Tristan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2357
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 556 razy

rozwiąż równanie trygonometryczne

Post autor: Tristan » 17 wrz 2007, o 13:13

Zauważ, że\(\displaystyle{ \sin 2x= 2 \sin x \cos x = 4 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \cos x}\).
Czyli mamy równanie:
\(\displaystyle{ \sin \frac{x}{2}= \sin 2x \\ \sin \frac{x}{2} = 4 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \cos x \\ \sin \frac{x}{2}=0 1=4 \cos \frac{x}{2} \cos x}\)
Z pierwszym równaniem już sobie poradzisz. Co do drugiego, to mamy \(\displaystyle{ \cos \frac{x}{2} \cos x= \frac{1}{4}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ \cos x= 2 \cos^2 \frac{x}{2} - 1}\), to otrzymujemy równanie \(\displaystyle{ 2 \cos^3 \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2} - \frac{1}{4}=0}\). Niech \(\displaystyle{ \cos \frac{x}{2}= z, z }\). Otrzymujemy równanie \(\displaystyle{ 2z^3 - z- \frac{1}{4}=0}\), czyli \(\displaystyle{ 8z^3 - 4z - 1=0}\). Korzystając z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych dochodzimy do tego, że \(\displaystyle{ z= - \frac{1}{2}}\). Teraz już poradzisz sobie ze znalezieniem pozostałych dwóch i z dokończeniem rozwiązania, bo pozostają same obliczenia.

Awatar użytkownika
Lider_M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 867
Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: MiNI PW
Pomógł: 258 razy

rozwiąż równanie trygonometryczne

Post autor: Lider_M » 17 wrz 2007, o 13:21

oj oj, lepiej będzie od razu tak:
\(\displaystyle{ \frac{x}{2}=2x+2k\pi\vee\frac{x}{2}=\pi-2x+2k\pi}\) dla \(\displaystyle{ k\in\mathbb{Z}}\)

Albo na jedną stronę i wzór na różnicę sinusów

Awatar użytkownika
Vixy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1830
Rejestracja: 3 lut 2006, o 15:47
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: z gwiazd
Podziękował: 302 razy
Pomógł: 151 razy

rozwiąż równanie trygonometryczne

Post autor: Vixy » 17 wrz 2007, o 14:25

ja korzystałam ze wzoru na różnice sinusow ale cos mi nie wyszlo

ODPOWIEDZ