całka niewłaściwa

[eloar]

Całka niewłaściwa:
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+2x+3}}\)

Zdaje mi sie, ze trzeba zastosowac pierwsze podstawienie Eulera, ale nie mam pewnosci. Oczywistym jest, ze funkcji podcalkowej nie da sie rozlozyc na ulamki proste.

[qaz]

a jakby tak mianowik zapisać jako \(\displaystyle{ (x+1)^2+2}\) no i podstawienie \(\displaystyle{ x+1=\sqrt{2}t}\) i do \(\displaystyle{ \arctan}\) sprowadzic

[eloar]

chyba jednak
\(\displaystyle{ (x+1)^2+2}\)
a nie:
\(\displaystyle{ (x+1)^2-2}\)

[qaz]

tak, już poprawione bo źle wklepałam wcześniej

[eloar]

no i wychodzi:
\(\displaystyle{ \int \frac{dt}{t^2+2}}\)

no i niby jak to rozkladac na ulamki? jakby bylo -2, to by sie dalo, ale teraz to sie juz nie da :/

[qaz]

zrobiłam błąd w minusem, wtedy rozkładałam, ale teraz z plusem trzeba to arcustangensa sprowadzic, wyzej jest to podstawienie odpowiednie ( z pierwiastkiem).

[eloar]

to teraz jeszcze co robic z granicami. wiem, ze calke trzeba rozlozyc na sume dwoch calek i po prostu:

\(\displaystyle{ \lim_{a\to -\infty}{\int_{a}^{0}\frac{dx}{(x+1)^2+2}}+\lim_{a\to +\infty}{\int_{0}^{a}\frac{dx}{(x+1)^2+2}}\)
Jak te granice dokladnie sie pozmieniaja po tym podstawieniu? mozesz pomoc?

[qaz]

\(\displaystyle{ x \to }\) to \(\displaystyle{ t \to }\)
\(\displaystyle{ x \to -\infty}\) to \(\displaystyle{ t \to -\infty}\)
\(\displaystyle{ x=0}\) to \(\displaystyle{ t=\frac{1}{\sqrt{2}}}\)

[eloar]

ok, czyli doladnie tak jak mi wychodzilo. dzieki wszystko bedzie dzialac

[ Dodano: 17 Września 2007, 15:28 ]
dobra, to moze jeszcze wynik dam do weryfikacji moze. wyszlo mio dokladnie: \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)

Niestety w calkach niewlasciwych dobry nie jestem, wiec niech to ktos sprawdzi...

A moze przy okazji podam, ostatni krok liczenia calki przed uzyskaniem wyniku liczbowego:
\(\displaystyle{ \lim_{a\to -\infty,\ b\to +\infty}\frac{1}{2}(\arctan{b}-\arctan{a})}\)

[qaz]

Mathematica, wyrzuca \(\displaystyle{ \frac{\pi}{\sqrt{2}}}\). Wygląda więc na to, jakbyś zapomniał pomnożyć przez \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\). Uwzględniłeś podstawiając, że \(\displaystyle{ dx=\sqrt{2}dt}\).