całka niewłaściwa

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Awatar użytkownika
eloar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 106
Rejestracja: 18 cze 2007, o 16:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kobyłka
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 12 razy

całka niewłaściwa

Post autor: eloar » 17 wrz 2007, o 11:34

Całka niewłaściwa:
\(\displaystyle{ \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+2x+3}}\)

Zdaje mi sie, ze trzeba zastosowac pierwsze podstawienie Eulera, ale nie mam pewnosci. Oczywistym jest, ze funkcji podcalkowej nie da sie rozlozyc na ulamki proste.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
qaz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 486
Rejestracja: 28 paź 2006, o 21:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gobbos' Kingdom
Podziękował: 311 razy
Pomógł: 5 razy

całka niewłaściwa

Post autor: qaz » 17 wrz 2007, o 13:16

a jakby tak mianowik zapisać jako \(\displaystyle{ (x+1)^2+2}\) no i podstawienie \(\displaystyle{ x+1=\sqrt{2}t}\) i do \(\displaystyle{ \arctan}\) sprowadzic

Awatar użytkownika
eloar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 106
Rejestracja: 18 cze 2007, o 16:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kobyłka
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 12 razy

całka niewłaściwa

Post autor: eloar » 17 wrz 2007, o 13:22

chyba jednak
\(\displaystyle{ (x+1)^2+2}\)
a nie:
\(\displaystyle{ (x+1)^2-2}\)
Ostatnio zmieniony 17 wrz 2007, o 13:23 przez eloar, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
qaz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 486
Rejestracja: 28 paź 2006, o 21:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gobbos' Kingdom
Podziękował: 311 razy
Pomógł: 5 razy

całka niewłaściwa

Post autor: qaz » 17 wrz 2007, o 13:23

tak, już poprawione bo źle wklepałam wcześniej

Awatar użytkownika
eloar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 106
Rejestracja: 18 cze 2007, o 16:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kobyłka
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 12 razy

całka niewłaściwa

Post autor: eloar » 17 wrz 2007, o 13:25

no i wychodzi:
\(\displaystyle{ \int \frac{dt}{t^2+2}}\)

no i niby jak to rozkladac na ulamki? jakby bylo -2, to by sie dalo, ale teraz to sie juz nie da :/

Awatar użytkownika
qaz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 486
Rejestracja: 28 paź 2006, o 21:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gobbos' Kingdom
Podziękował: 311 razy
Pomógł: 5 razy

całka niewłaściwa

Post autor: qaz » 17 wrz 2007, o 13:27

zrobiłam błąd w minusem, wtedy rozkładałam, ale teraz z plusem trzeba to arcustangensa sprowadzic, wyzej jest to podstawienie odpowiednie ( z pierwiastkiem).

Awatar użytkownika
eloar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 106
Rejestracja: 18 cze 2007, o 16:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kobyłka
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 12 razy

całka niewłaściwa

Post autor: eloar » 17 wrz 2007, o 13:39

to teraz jeszcze co robic z granicami. wiem, ze calke trzeba rozlozyc na sume dwoch calek i po prostu:

\(\displaystyle{ \lim_{a\to -\infty}{\int_{a}^{0}\frac{dx}{(x+1)^2+2}}+\lim_{a\to +\infty}{\int_{0}^{a}\frac{dx}{(x+1)^2+2}}\)
Jak te granice dokladnie sie pozmieniaja po tym podstawieniu? mozesz pomoc?

Awatar użytkownika
qaz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 486
Rejestracja: 28 paź 2006, o 21:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gobbos' Kingdom
Podziękował: 311 razy
Pomógł: 5 razy

całka niewłaściwa

Post autor: qaz » 17 wrz 2007, o 13:55

\(\displaystyle{ x \to }\) to \(\displaystyle{ t \to }\)
\(\displaystyle{ x \to -\infty}\) to \(\displaystyle{ t \to -\infty}\)
\(\displaystyle{ x=0}\) to \(\displaystyle{ t=\frac{1}{\sqrt{2}}}\)

Awatar użytkownika
eloar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 106
Rejestracja: 18 cze 2007, o 16:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kobyłka
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 12 razy

całka niewłaściwa

Post autor: eloar » 17 wrz 2007, o 14:58

ok, czyli doladnie tak jak mi wychodzilo. dzieki wszystko bedzie dzialac

[ Dodano: 17 Września 2007, 15:28 ]
dobra, to moze jeszcze wynik dam do weryfikacji moze. wyszlo mio dokladnie: \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)

Niestety w calkach niewlasciwych dobry nie jestem, wiec niech to ktos sprawdzi...

A moze przy okazji podam, ostatni krok liczenia calki przed uzyskaniem wyniku liczbowego:
\(\displaystyle{ \lim_{a\to -\infty,\ b\to +\infty}\frac{1}{2}(\arctan{b}-\arctan{a})}\)

Awatar użytkownika
qaz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 486
Rejestracja: 28 paź 2006, o 21:56
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gobbos' Kingdom
Podziękował: 311 razy
Pomógł: 5 razy

całka niewłaściwa

Post autor: qaz » 17 wrz 2007, o 16:15

Mathematica, wyrzuca \(\displaystyle{ \frac{\pi}{\sqrt{2}}}\). Wygląda więc na to, jakbyś zapomniał pomnożyć przez \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\). Uwzględniłeś podstawiając, że \(\displaystyle{ dx=\sqrt{2}dt}\).

ODPOWIEDZ