obliczyć objętość obszaru z parametrem R

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Awatar użytkownika
eloar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 106
Rejestracja: 18 cze 2007, o 16:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kobyłka
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 12 razy

obliczyć objętość obszaru z parametrem R

Post autor: eloar » 17 wrz 2007, o 11:30

No to mamy taki ladny obszar:
\(\displaystyle{ V:\begin{cases}x^2+y^2+z^2=-2Rz\\x^2+y^2=z^2\end{cases}}\)

Sam doszedlem juz do tego, ze funkcja druga to stożek z ramionami skierowanymi do góry. Zdaje mi się, że funkcja druga to stożek z ramionami skierowanymi do dołu i przesunięty po Z zależnie od parametru R, ale nie mam stuprocentowej pewności, bo istnie je prawdopodobieństwo, że jest to elipsoida. Będę wdzięczny za wszelką pomoc.

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

obliczyć objętość obszaru z parametrem R

Post autor: scyth » 17 wrz 2007, o 11:53

Może tak będzie widać wyraźniej:
\(\displaystyle{ V:\begin{cases}x^2+y^2+(z+R)^2=R^2 \\ x^2+y^2=z^2\end{cases} \\}\)

Awatar użytkownika
eloar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 106
Rejestracja: 18 cze 2007, o 16:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kobyłka
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 12 razy

obliczyć objętość obszaru z parametrem R

Post autor: eloar » 17 wrz 2007, o 12:51

A moglbys byc tak mily i dac pare wskazowek jak dalej to liczyc? bo nie wiem dokladnie czy to potem liczyc w sferycznych, czy walcowych... nie wiem do konca jak ta kula i ten stozek maja sie do siebie. Bede wdzieczny za pomoc.
Ostatnio zmieniony 17 wrz 2007, o 13:01 przez eloar, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

obliczyć objętość obszaru z parametrem R

Post autor: scyth » 17 wrz 2007, o 13:07

Mamy sferę o środku w (0,0,-R) i promieniu R oraz dwa stożki o wierzchołku w (0,0,0). Sfera przecina się ze stożkiem.
Mnie jest w takim przypadku najłatwiej liczyć rozważając tylko dla dodatniej cwiartki (zauważ, że sfera zawsze będzie nad lub pod płaszczyzną xy, bez straty ogólności możemy założyć, że jest nad) i potem mnożyć wynik x4.

Awatar użytkownika
eloar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 106
Rejestracja: 18 cze 2007, o 16:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kobyłka
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 12 razy

obliczyć objętość obszaru z parametrem R

Post autor: eloar » 17 wrz 2007, o 13:11

kula sie przesuwa wzgledem R, wiec te cwiartki nie musza byc symetryczne... trzeba chyba wymyslec jakis ogolny sposob na liczenie tego i jakiego uzyc ukladu wsp. sferyczne? walcowe?...

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

obliczyć objętość obszaru z parametrem R

Post autor: scyth » 17 wrz 2007, o 13:39

Zauważ, że sfera i stożek mają wspólny wierzchołek. Obszar jest zawsze symetryczny (w końcu to cześć wspólna brył obrotowych).
Nasz obszar od góry ograniczony jest stożkiem, a od dołu sferą. Obie figury przecinają się w \(\displaystyle{ z=0 z=R}\).

Awatar użytkownika
eloar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 106
Rejestracja: 18 cze 2007, o 16:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kobyłka
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 12 razy

obliczyć objętość obszaru z parametrem R

Post autor: eloar » 17 wrz 2007, o 13:42

chyba masz na mysli, ze wierzcholek stozka nalezy do sfery? mozesz narysowac chociaz przekroj po XOZ dla R=1? bylbym bardzo wdzieczny, bo nie do konca rozumiem o co dokladnie chodzi.

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

obliczyć objętość obszaru z parametrem R

Post autor: scyth » 17 wrz 2007, o 14:13

Tu obrazek dla jednej z ćwiartek, mam nadzieję, że Ci trochę wyjaśni:

Awatar użytkownika
eloar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 106
Rejestracja: 18 cze 2007, o 16:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kobyłka
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 12 razy

obliczyć objętość obszaru z parametrem R

Post autor: eloar » 17 wrz 2007, o 14:59

1) w czym rysowany jest ten wykres?
2) no to teraz juz rozumiem. dzieki...

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

obliczyć objętość obszaru z parametrem R

Post autor: scyth » 18 wrz 2007, o 07:10

Ad. 1) rysunek jest zrobiony w programie 3D Grapher - szczerze mówiąc taki sobie program, ale musiałem jakiś ściągnąć bo w pracy nie mam nic lepszego Poszukaj na forum, nie tak dawno była dyskusja na temat programów do wykresów.

Ad. 2) w takim razie cieszę się, że mogłem Ci pomóc. Powodzenia.

ODPOWIEDZ