obliczyć objętość obszaru z parametrem R

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Awatar użytkownika
eloar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 106
Rejestracja: 18 cze 2007, o 16:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kobyłka
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 12 razy

obliczyć objętość obszaru z parametrem R

Post autor: eloar » 17 wrz 2007, o 11:30

No to mamy taki ladny obszar:
\(\displaystyle{ V:\begin{cases}x^2+y^2+z^2=-2Rz\\x^2+y^2=z^2\end{cases}}\)

Sam doszedlem juz do tego, ze funkcja druga to stożek z ramionami skierowanymi do góry. Zdaje mi się, że funkcja druga to stożek z ramionami skierowanymi do dołu i przesunięty po Z zależnie od parametru R, ale nie mam stuprocentowej pewności, bo istnie je prawdopodobieństwo, że jest to elipsoida. Będę wdzięczny za wszelką pomoc.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

obliczyć objętość obszaru z parametrem R

Post autor: scyth » 17 wrz 2007, o 11:53

Może tak będzie widać wyraźniej:
\(\displaystyle{ V:\begin{cases}x^2+y^2+(z+R)^2=R^2 \\ x^2+y^2=z^2\end{cases} \\}\)

Awatar użytkownika
eloar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 106
Rejestracja: 18 cze 2007, o 16:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kobyłka
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 12 razy

obliczyć objętość obszaru z parametrem R

Post autor: eloar » 17 wrz 2007, o 12:51

A moglbys byc tak mily i dac pare wskazowek jak dalej to liczyc? bo nie wiem dokladnie czy to potem liczyc w sferycznych, czy walcowych... nie wiem do konca jak ta kula i ten stozek maja sie do siebie. Bede wdzieczny za pomoc.
Ostatnio zmieniony 17 wrz 2007, o 13:01 przez eloar, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

obliczyć objętość obszaru z parametrem R

Post autor: scyth » 17 wrz 2007, o 13:07

Mamy sferę o środku w (0,0,-R) i promieniu R oraz dwa stożki o wierzchołku w (0,0,0). Sfera przecina się ze stożkiem.
Mnie jest w takim przypadku najłatwiej liczyć rozważając tylko dla dodatniej cwiartki (zauważ, że sfera zawsze będzie nad lub pod płaszczyzną xy, bez straty ogólności możemy założyć, że jest nad) i potem mnożyć wynik x4.

Awatar użytkownika
eloar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 106
Rejestracja: 18 cze 2007, o 16:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kobyłka
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 12 razy

obliczyć objętość obszaru z parametrem R

Post autor: eloar » 17 wrz 2007, o 13:11

kula sie przesuwa wzgledem R, wiec te cwiartki nie musza byc symetryczne... trzeba chyba wymyslec jakis ogolny sposob na liczenie tego i jakiego uzyc ukladu wsp. sferyczne? walcowe?...

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

obliczyć objętość obszaru z parametrem R

Post autor: scyth » 17 wrz 2007, o 13:39

Zauważ, że sfera i stożek mają wspólny wierzchołek. Obszar jest zawsze symetryczny (w końcu to cześć wspólna brył obrotowych).
Nasz obszar od góry ograniczony jest stożkiem, a od dołu sferą. Obie figury przecinają się w \(\displaystyle{ z=0 z=R}\).

Awatar użytkownika
eloar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 106
Rejestracja: 18 cze 2007, o 16:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kobyłka
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 12 razy

obliczyć objętość obszaru z parametrem R

Post autor: eloar » 17 wrz 2007, o 13:42

chyba masz na mysli, ze wierzcholek stozka nalezy do sfery? mozesz narysowac chociaz przekroj po XOZ dla R=1? bylbym bardzo wdzieczny, bo nie do konca rozumiem o co dokladnie chodzi.

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

obliczyć objętość obszaru z parametrem R

Post autor: scyth » 17 wrz 2007, o 14:13

Tu obrazek dla jednej z ćwiartek, mam nadzieję, że Ci trochę wyjaśni:

Awatar użytkownika
eloar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 106
Rejestracja: 18 cze 2007, o 16:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kobyłka
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 12 razy

obliczyć objętość obszaru z parametrem R

Post autor: eloar » 17 wrz 2007, o 14:59

1) w czym rysowany jest ten wykres?
2) no to teraz juz rozumiem. dzieki...

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

obliczyć objętość obszaru z parametrem R

Post autor: scyth » 18 wrz 2007, o 07:10

Ad. 1) rysunek jest zrobiony w programie 3D Grapher - szczerze mówiąc taki sobie program, ale musiałem jakiś ściągnąć bo w pracy nie mam nic lepszego Poszukaj na forum, nie tak dawno była dyskusja na temat programów do wykresów.

Ad. 2) w takim razie cieszę się, że mogłem Ci pomóc. Powodzenia.

ODPOWIEDZ