Matematyka.pl

Dany jest na płaszczyźnie trójkąt równoboczny, którego bok ma długość \(\displaystyle{ 1}\). Wykazać, że:
a) wśród każdych pięciu punktów tego trójkąta znajduje się para punktów odległa od siebie o co najwyżej \(\displaystyle{ \frac12}\);
b) nie można pokryć tego trójkąta trzema kołami, z których każde ma średnicę mniejsza niż \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{3}}\).

Jakąś wskazówka?

Ad 1)
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw (0,0)--(6,0)--(3,5.1961)--(0,0);
\draw[dasched] (3,0)--(4.5,2.598)--(1.5,2.598)--(3,0);

\end{tikzpicture}}\)



Ad 2)
\(\displaystyle{ \begin{tikzpicture}
\draw (0,0)--(6,0)--(3,5.1961)--(0,0);
\draw[red] (3,3.464) circle (1.732);
\draw[orange] (1.5,0.866) circle (1.732);
\draw[blue] (4.5,0.866) circle (1.732);
\end{tikzpicture}}\)

No dzięki, ale to jest oczywiste, dla mnie bardziej chodzi jak to formalnie uzasadnić ?

1) Chyba widać, że największa odległość między dowolnymi dwoma punktami w trójkącie równobocznym to długość jego boku. Mamy \(\displaystyle{ 5}\) punktów, więc w pewnym z małych trójkątów będą min. \(\displaystyle{ 2}\) punkty i odległość między nimi jest nie większa niż \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\).

2) Każdy z wierzchołków trójkąta musi należeć do innego z trzech kół (bo długość boku trójkąta jest większa od średnicy koła). Weźmy punkt przecięcia wysokości trójkąta równobocznego - ortocentrum. Jest on oddalony o \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{3}}\) od wierzchołków tego trójkąta (jest to \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) długości wysokości). Gdy średnica koła jest mniejsza od \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{3} }{3}}\) to nie może ono pokrywać zarówno wierzchołka trójkąta i ortocentrum. Dlatego ortocentrum nie będzie pokryte, więc i cały trójkąt nie będzie pokryty.

Ad 1. Aaaa.. faktycznie masz rację, że ja nie pomyślałem żeby z małych trójkątów zrobić szuflady, to aż mi głupio.

Dziękuję bardzo, świetnie uzasadnione oba zadania.