Zbieżność całki niewałściwej.

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Awatar użytkownika
Skynet
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 95
Rejestracja: 11 wrz 2007, o 11:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1 raz

Zbieżność całki niewałściwej.

Post autor: Skynet » 17 wrz 2007, o 08:13

Zbadać zbieżność całki niewłaściwej:
\(\displaystyle{ \int\limits_{2}^{+\infty}\frac{1+ln(3x)}{9x^{2}}dx}\)
Wydaje mi się że należy ograniczyć funkcję podcałkową i skorzystać z kryterium porównawczego, ale nie przychodzi mi żaden pomysł aby ograniczyć tę funkcję.
Proszę o pomoc.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Zbieżność całki niewałściwej.

Post autor: scyth » 17 wrz 2007, o 08:40

Obliczmy całkę nieoznaczoną:
\(\displaystyle{ \int \frac{1+\ln(3x)}{9x^{2}}dx}\)
poprzez podstawienie:
\(\displaystyle{ u=1+\ln(3x), \ v'=\frac{1}{9x^2} \\
u'=\frac{1}{x}, \ v=\frac{-1}{9x}}\)

Zatem:
\(\displaystyle{ \int \frac{1+\ln(3x)}{9x^{2}}dx = \frac{-(1+\ln(3x))}{9x}
+\int\frac{1}{9x^2}=\frac{-(2+\ln(3x))}{9x}}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x}=0}\), to możemy obliczyć całkę niewłaściwą:
\(\displaystyle{ \int\limits_{2}^{+\infty}\frac{1+\ln(3x)}{9x^{2}}dx = ft[\frac{-(2+\ln(3x))}{9x} \right]_{2}^{+\infty} = \frac{2+\ln(6)}{18}}\)

Awatar użytkownika
Sir George
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1145
Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Konopii
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 203 razy

Zbieżność całki niewałściwej.

Post autor: Sir George » 17 wrz 2007, o 10:15

Hmm, zamiast liczyć całkę, do zbadania zbieżności wystarczy ograniczenie \(\displaystyle{ 0\le1+\log(3x)\le2\sqrt{3x}}\)

A powyższą nierówność (tę po prawej stronie... ) pokazuje się łatwo:
\(\displaystyle{ 1+\log y\le y\ \ \log y^2=2\log y\le2y-2\ \ \log3x\le2\sqrt{3x}-2}\)

ODPOWIEDZ