Matematyka.pl

Najpierw korzystając z ultra znanej tożsamości \(\displaystyle{ (ad-bc)^2+(ac+bd)^2=(ad+bc)^2+(bd-ac)^2}\) udowodnię, że istnieje nieskończenie wiele czwórek \(\displaystyle{ (p,q,r,s)}\) takich, że
\(\displaystyle{ p^2+q^2=r^2+s^2}\) oraz każde dwie spośród liczb \(\displaystyle{ p,q,r,s}\) są względnie pierwsze. Mały przypadek \(\displaystyle{ a=6, b=5, c=7, d=11}\) podsunął mi myśl, że warto sprawdzić
\(\displaystyle{ (a,b,c,d)=(2n, 2n-1, 2n+1, 4n-1)}\). Wówczas otrzymujemy
\(\displaystyle{ ad-bc=4n^2-2n+1\\ac+bd=12n^2-4n+1 \\ad+bc=12n^2-2n-1 \\bd-ac=4n^2-8n+1}\)
Uzasadnię teraz, że istnieje nieskończenie wiele liczb \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\) takich, że
każde dwie z powyższych są względnie pierwsze.

1) Z algorytmu Euklidesa wynika, że \(\displaystyle{ \NWD(4n^2-2n+1, 12n^2-4n+1)}\)
dzieli liczbę \(\displaystyle{ 12n^2-4n+1-3(4n^2-2n+1)=2n-2}\), a ponieważ obie powyższe liczby są nieparzyste, to rzeczone \(\displaystyle{ \NWD}\), oznaczmy je przez \(\displaystyle{ d_1}\), dzieli liczbę \(\displaystyle{ n-1}\). Stąd \(\displaystyle{ d_1 |(n-1)^2}\), więc \(\displaystyle{ d_1|4n^2-2n+1-(n-1)^2}\). Ale \(\displaystyle{ 4n^2-2n+1-(n-1)^2=3n^2}\) i \(\displaystyle{ \NWD(n-1, n^2)=1}\), więc \(\displaystyle{ d_1\in\left\{ 1,3\right\}}\) i musimy tylko wykluczyć, że \(\displaystyle{ d_1=3}\). To zdaje się nie zajdzie, ale żeby sobie już nie zawracać głowy, niech \(\displaystyle{ 3|n}\), wtedy \(\displaystyle{ 3|4n^2-2n}\), więc \(\displaystyle{ 4n^2-2n+1\equiv 1\pmod{3}}\) i wówczas już mamy zagwarantowane \(\displaystyle{ d_1=1}\).

2) niech \(\displaystyle{ d_2=\NWD(4n^2-2n+1, 4n^2-8n+1)}\), wówczas \(\displaystyle{ d_2}\) dzieli różnicę tych liczb, równą
\(\displaystyle{ 6n}\). Jednak skorośmy przyjęli, że \(\displaystyle{ 3}\) dzieli \(\displaystyle{ n}\), to żadna z powyższych liczb nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\) ani przez \(\displaystyle{ 2}\) (bo obie są nieparzyste), obie są też względnie pierwsze z \(\displaystyle{ n}\), stąd \(\displaystyle{ d_2=1}\).

3) niech \(\displaystyle{ d_3=\NWD(4n^2-2n+1, 12n^2-2n-1)}\).
Wówczas \(\displaystyle{ d_3}\) dzieli liczbę \(\displaystyle{ 12n^2-2n-1-3(4n^2-2n+1)=4n-4}\)
Obie liczby są nieparzyste, toteż \(\displaystyle{ d_3}\) tym bardziej, stąd \(\displaystyle{ d_3|n-1}\). Z tego mamy jak wcześniej \(\displaystyle{ d_3|(n-1)^2}\) i \(\displaystyle{ d_3|3n^2}\), wobec tego \(\displaystyle{ d_3=1}\).

4) niech \(\displaystyle{ d_4=\NWD(12n^2-4n+1, 12n^2-2n-1)}\), wówczas znów \(\displaystyle{ d_4}\) dzieli różnicę tych liczb, czyli \(\displaystyle{ d_4|2n-2}\), obie liczby są nieparzyste, stąd \(\displaystyle{ d_4|n-1}\).
Analogicznie \(\displaystyle{ d_4}\) dzieli sumę tych liczb, równą \(\displaystyle{ 24n^2-6n}\), ale skoro \(\displaystyle{ d_4|24n^2-6n\wedge d_4|24n(n-1)}\), to \(\displaystyle{ d_4|18n}\), ale \(\displaystyle{ \NWD(n,n-1)=1}\), toteż \(\displaystyle{ d_4|18}\), a oczywiście ani \(\displaystyle{ 2}\), ani \(\displaystyle{ 3}\) nie dzieli \(\displaystyle{ d_4}\) (przypominam, przyjmujemy \(\displaystyle{ n\equiv 0\pmod{3}}\)), a \(\displaystyle{ 18=2\cdot 3^2}\), stąd \(\displaystyle{ d_4=1}\).

5) niech \(\displaystyle{ d_5=\NWD(12n^2-4n+1, 4n^2-8n+1)}\). Ponownie z algorytmu Euklidesa dostajemy, że \(\displaystyle{ d_5}\) dzieli liczbę
\(\displaystyle{ 12n^2-4n+1-3(4n^2-8n+1)=20n-2}\), stąd \(\displaystyle{ d_5|10n-1}\). Ale oczywiście \(\displaystyle{ d_5}\) dzieli także liczbę \(\displaystyle{ 12n^2-4n+1+2(4n^2-8n+1)=20n^2-20n+3=2n(10n-1)-2(10n-1)+2n+1}\), wobec tego \(\displaystyle{ d_5|2n+1}\). Ale gdy \(\displaystyle{ d_5|10n-1}\) i \(\displaystyle{ d_5|2n+1}\), to \(\displaystyle{ d_5|12n}\), ale znów mamy \(\displaystyle{ \NWD(d_5,n)=1}\), a ponadto liczba \(\displaystyle{ 4n^2-8n+1}\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ 2}\) ani przez \(\displaystyle{ 3}\) (bo \(\displaystyle{ 3|n}\)), zaś \(\displaystyle{ 12=2^2\cdot 3}\), stąd \(\displaystyle{ d_5=1}\).

6) niech \(\displaystyle{ d_6=\NWD(12n^2-2n-1, 4n^2-8n+1)}\). Wtedy \(\displaystyle{ d_6}\) dzieli liczbę \(\displaystyle{ 12n^2-2n-1-3(4n^2-8n+1)=22n-4}\), a ponieważ \(\displaystyle{ d_6}\) jest nieparzyste, więc \(\displaystyle{ d_6|11n-2}\), czyli również \(\displaystyle{ d_6}\) dzieli liczbę \(\displaystyle{ 12n^2-2n-1-n(11n-2)=n^2-1}\). Skoro jednak \(\displaystyle{ d_6|n^2-1 \wedge d_6|4n^2-8n+1}\), to \(\displaystyle{ d_6}\) dzieli liczbę
\(\displaystyle{ 4n^2-8n+1-4(n^2-1)=-8n+5}\). Wobec tego, że \(\displaystyle{ d_6|(-8n+5)\wedge d_6|11n-2}\) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ d_6|3n+3}\), a więc (z uwagi na to, że \(\displaystyle{ 3\nmid 4n^2-8n+1}\), bo \(\displaystyle{ 3|n}\)) \(\displaystyle{ d_6}\) dzieli \(\displaystyle{ n+1}\). Czyli d_6 dzieli liczbę \(\displaystyle{ -8n+5+8(n+1)=3}\), stąd \(\displaystyle{ d_6=1}\).
Uff…

Zatem kładziemy
\(\displaystyle{ p=4(3k)^2-6k+1=36k^2-6k+1, \\ q=12(3k)^2-12k+1=108k^2-12k+1, \\ r=12(3k)^2-6k-1=108k^2-6k-1, \\ s=4(3k)^2-24k+1=36k^2-24k+1}\)
i równość \(\displaystyle{ p^2+q^2=r^2+s^2}\) zachodzi, a poza tym dowolne dwie spośród \(\displaystyle{ p,q,r,s}\) są względnie pierwsze.
Teraz to już proste: dla \(\displaystyle{ p,q,r,s}\) jak wyżej wystarczy wziąć \(\displaystyle{ x=pqr, \ y=pqs, \ z=qrs, \ t=prs}\) i działa.

To co zrobiłem było toporne i trochę z kapelusza, myślę, że jak już się ma ten fakt z \(\displaystyle{ (ad-bc)^2}\) etc. to można zobaczyć jakieś małe rozwiązanie i napisać rekurencję, ale nie wpadłem na takie rozwiązanie.

Pierwsza część zadania jest naprawdę nietrudna: przypuśćmy nie wprost, że istnieje nieskończony ciąg parami różnych liczb naturalnych \(\displaystyle{ (a_n)_{n=1}^{\infty}}\) taki, że \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{a_n}\right)_{n=1}^{\infty}}\) jest arytmetyczny. Oczywiście ciąg o wyrazach \(\displaystyle{ \frac{1}{a_n}}\), z uwagi na to, że jest arytmetyczny i ma parami różne wyrazy (trywiał), musi być ściśle rosnący lub ściśle malejący. Gdyby był rosnący, to \(\displaystyle{ (a_n)}\) byłby nieskończonym ściśle malejącym ciągiem liczb naturalnych, w szczególności zbiór \(\displaystyle{ \left\{ a_n: n\in \NN^+\right\}}\) nie miałby elementu najmniejszego (gdyż \(\displaystyle{ a_{n+1}<a_n}\) dla każdego \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\)), a to jest sprzeczność z zasadą minimum. Niech więc ciąg \(\displaystyle{ (a_n)_{n=1}^{\infty}}\) będzie ściśle rosnącym ciągiem liczb całkowitych dodatnich. Wówczas ciąg o wyrazach \(\displaystyle{ \frac{1}{a_n}}\) jest oczywiście ściśle malejący. Niech \(\displaystyle{ r=\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}}\), wtedy \(\displaystyle{ r<0}\), toteż \(\displaystyle{ -r>0}\) i istnieje takie \(\displaystyle{ M\in \NN^+}\), że \(\displaystyle{ -rM>\frac{1}{a_1}}\) (pewnik Archimedesa w niegeometrycznej wersji). Weźmy pewne takie \(\displaystyle{ M\in \NN^+}\). Oczywiście \(\displaystyle{ a_{M+1}\in \NN^+}\), więc mamy \(\displaystyle{ 0<\frac{1}{a_{M+1}}=\frac{1}{a_1}+Mr<0}\), sprzeczność.

Druga część zadania wyglądała na trudniejszą, a jest jeszcze prostsza, wystarczy wziąć ciąg o wyrazach
\(\displaystyle{ \frac{1}{n!}, \frac{2}{n!}, \ldots \frac{n}{n!}}\), jest to ciąg arytmetyczny (o różnicy \(\displaystyle{ \frac{1}{n!}}\)) długości \(\displaystyle{ n}\), zaś liczby \(\displaystyle{ n!, \ \frac{n!}{2}, \ldots \frac{n!}{n}}\) są rzecz jasna parami różnymi liczbami naturalnymi.

Wyobraźmy sobie wyraz \(\displaystyle{ a_{k-1}}\) w postaci \(\displaystyle{ b_{k-1} \cdot 2^{k-1}}\)
Wyraz ciągu \(\displaystyle{ a_k}\) uzyskujemy :
dodając warunkowo do wyrazu \(\displaystyle{ a_{k-1}}\) jedną z dwóch liczb:
\(\displaystyle{ 10^k}\) dla \(\displaystyle{ b_{k-1}}\) - nieparzystego
\(\displaystyle{ a_k=10^k+b_{k-1} \cdot 2^{k-1}}\)
\(\displaystyle{ a_k=5^{k-1}*2^{k-1}+b_{k-1} \cdot 2^{k-1}}\)
\(\displaystyle{ a_k=2^{k-1} \cdot \left(5^{k-1}+ b_{k-1}\right)}\)
wyrażenie \(\displaystyle{ \left(5^{k-1}+ b_{k-1}\right)}\) jest parzyste (suma nieparzystych) stąd
\(\displaystyle{ 2^k |a_k}\)
albo
\(\displaystyle{ 2 \cdot 10^k}\) dla \(\displaystyle{ b_{k-1}}\) - parzystego
\(\displaystyle{ a_k=2^{k-1} \cdot \left(2^{k-1} \cdot 5^{k-1}+ b_{k-1}\right)}\)
wyrażenie \(\displaystyle{ \left(2^{k-1} \cdot 5^{k-1}+ b_{k-1}\right)}\) jest parzyste (suma parzystych) stąd
\(\displaystyle{ 2^k |a_k}\)

Podsumowując lub nieco inaczej
wyraz \(\displaystyle{ a_k}\) uzyskujemy dodając
do wyrazu \(\displaystyle{ a_{k-1}}\) liczbę \(\displaystyle{ 10^k}\) gdy wyraz \(\displaystyle{ a_{k-1}}\) jest dokładnie stopnia parzystości \(\displaystyle{ k-1}\)
albo
do wyrazu \(\displaystyle{ a_{k-1}}\) liczbę \(\displaystyle{ 2 \cdot 10^k}\) gdy wyraz \(\displaystyle{ a_{k-1}}\) jest co najmniej stopnia parzystości \(\displaystyle{ k}\)

Nie jest to pełne rozwiązanie zadania ale zajęło mi 4 stroniczki A4 i w latexie pogubiłbym się. Zresztą na końcu przestałem rozumieć o co mi chodziło na początku stąd dla bardziej kumatych ode mnie przedstawiam pewien wynik. Być może cokolwiek podsunie?
\(\displaystyle{ f(a,b,c) = \frac{a+b}{c} + \frac{b+c}{a} +\frac{a+c}{b}}\)
Jak widać dla każdej trójki \(\displaystyle{ a, b, c}\) kolejność nie jest istotna.
Zakładam, że \(\displaystyle{ a}\) jest najmniejsza z czynników. Zakładam również że proporcje \(\displaystyle{ \frac{b}{a}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{c}{a}}\) przyjmują wartości całkowite.
W takim przypadku wartość funkcji zależy jedynie od tych proporcji a nie od wartości \(\displaystyle{ a, b, c}\)
Rozwiązanie:
Jednym z rozwiązań jest a=b=c czyli proporcje \(\displaystyle{ \frac{b}{a}=1}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{c}{a}=1}\).
Przyjmijmy następujące ciągi liczbowe:
\(\displaystyle{ m_1=2}\)
\(\displaystyle{ m_2=3}\)
\(\displaystyle{ m_{n} = 3m_{n-1}-m_{n-2}-1}\)
oraz ciąg
\(\displaystyle{ k_1=6}\)
\(\displaystyle{ k_2=21}\)
\(\displaystyle{ k_{n} = 4k_{n-1}-k_{n-2}-1}\)
dla pierwszego ciągu funkcja przyjmuje wartości całkowite
1. \(\displaystyle{ f(a,b,c)= f(m_{n}, m_{n-1})= m_{n} + m_{n-1}+3}\)
2. \(\displaystyle{ f(a,b,c)= f(k_{n}, k_{n-1})= k_{n} + k_{n-1}+4}\)
proporcje \(\displaystyle{ a, b, c}\) są następujące
1 2 3
1 3 6
1 6 14
1 14 35
1 35 90
1 90 234
1 234 611
1 611 1598
1 1598 4182
1 4182 10947
1 10947 28658
1 28658 75026
1 75026 196419
1 196419 514230
lub

1 6 21
1 21 77
2 77 286
3 286 1066
4 1066 3977
5 3977 14841
6 14841 55386
7 55386 206702
8 206702 771421
9 771421 2878981
10 2878981 10744502
11 10744502 40099026

Dodatkowo niestety rozwiązaniem jest proporcja

1 2 2
1 4 6