Trzy zadania :podzielność, reszta z dzielenia i NWD

Oddzielone od teorii liczb, proste problemy dotyczące zasad dzielenia itp.
crewlbn
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 16 wrz 2007, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: lbn
Podziękował: 1 raz

Trzy zadania :podzielność, reszta z dzielenia i NWD

Post autor: crewlbn » 16 wrz 2007, o 22:15

1) wykaż że jeżeli m jest całkowita to \(\displaystyle{ m^6 - 2m^4 +m^2}\) jest podzielna przez 36
2) wykaż że kwadrat liczby całkowitej dającej z dzielenia przez 3 resztę 2, przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1
3) iloczyn dwóch liczb naturalnych dodatnich wynosi 6174 a ich największy wspólny dzielnik równa się 21. Znajdź te liczby"

pomozecie?:)

[Zapoznaj się z regulaminem, w szczególności z nazewnistwem tematów. A potem radzę poznać LaTeX-a - Tristan]
Ostatnio zmieniony 16 wrz 2007, o 22:43 przez crewlbn, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Tristan
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2357
Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 556 razy

Trzy zadania :podzielność, reszta z dzielenia i NWD

Post autor: Tristan » 16 wrz 2007, o 22:46

Ad 1:
Zauważ, że \(\displaystyle{ m^6 - 2m^4 +m^2=m^2 ( m^4 - 2m^2 +1)=m^2 ( m^2 -1)^2=m^2 (m-1)^2 ( m+1)^2= [ m(m-1)(m+1)]^2}\). Mamy do czynienia z iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych. Z kolejnych trzech liczb całkowitych jedna jest podzielna przez 3, więc cały iloczyn jest podzielny przez 3. Poza tym co najmniej jedna jest podzielna przez 2, więc cały iloczyn jest podzielny przez 2. Czyli zachodzi podzielność \(\displaystyle{ 6| m(m-1)(m+1)}\), a z tego wynika, że \(\displaystyle{ 36=6^2 | [ m(m-1)(m+1)]^2= m^6 - 2m^4 +m^2}\).

Ad 2:
Liczbę całkowitą, która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2, możemy zapisać w postaci \(\displaystyle{ 3k+2}\). Wtedy jej kwadrat to \(\displaystyle{ (3k+2)^2=3k 3k + 2 3k 2 + 4=3(3k^2 +4k+1) +1}\). Czyli jej kwarat przy dzieleniu przez 3 daje resztę jeden ( bo jest całkowitą wielokrotnością trójki plus jeden).

Ad 3:
Niech szukanymi liczbami będą \(\displaystyle{ x,y}\). Z treści zadania wiemy, że \(\displaystyle{ x y=6174}\) i \(\displaystyle{ NWD(x,y)=21}\). Z tej drugiej informacji wynika, że \(\displaystyle{ x=21k, y=21n}\), gdzie \(\displaystyle{ NWD(k,n)=1}\). Podstawiając to do pierwszego równania mamy:
\(\displaystyle{ 21k 21n=6174 \\ k n=14}\)
Czyli \(\displaystyle{ (k=1 n=14) (k=2 n=7) ( k=7 n=2) (k=14,\wedge n=1)}\). Stąd otrzymasz już cztery pary (x,y) rozwiązań.

ODPOWIEDZ