Kratownica - węzły

[misiakool13]

Witam , mam do rozwiązania kratownice metodą analityczną czyli każdy węzeł rozpatrzyć z "osobna" . Mój problem polega na tym iż nie wiem od którego węzła zacząć oraz na jakiej podstawie wybierać następne. Tutaj jest schemat poglądowy mojej kratownicy :



Jest ktoś mi w stanie pomóc?

[kruszewski]

Zaczynamy od tego, ale i rozwiązujemy kolejny ten, w którym są nie więcej niż dwie niewiadome, a są nimi miary sił w prętach, bo kierunki ich są znane stąd, że są one wzdłuż osi prętów kratownicy.
To, że nie więcej niż dwie, wynika stąd, że dla płaskiego zbieżnego (zbiegającego się w węźle) układu sił można napisać dwa równania równowagi. Równania sum rzutów sił na dwa nierównoległe do siebie kierunki. Równanie momentów jest nieprzydatne, bo jest tożsamościowo równe zeru.
Proszę zauważyć, że nie obowiązuje tu żadna kolejność rozwiązywania węzłów. Jedyny warunek to ten, by w węźle były nie więcej niż dwie niewiadome siły.
Wcześniej oczywista należy obliczyć (wyznaczyć) reakcje podpór.
W.Kr.

[misiakool13]

Po obliczaniu sum reakcji działających po \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) dostaje następujące wyniki: \(\displaystyle{ R_{ax} = 82 kN}\) oraz \(\displaystyle{ R_{ay}= - R_{by}}\) , czy to nie za mało? Moment nie jest potrzebny do obliczeń? Czyli kolejność wybierania węzłów jest dowolna? A jeśli chodzi o pręty zerowe - czy występuje w takim schemacie kratownicy?

[kruszewski]

Skąd można to wiedzieć, jeżeli nie ma informacji o siłach czynnych\(\displaystyle{ F_{1,2,3,4}}\)
Pręt zerowy też jest i trzeba go "zignorować" w oblczeniach sił w pozostałych prętach kratownicy.
Watro poczytać posty pana siwynech o karatownicach.

[misiakool13]

Otóż informacje o siłach prezentują sie następująco: \(\displaystyle{ F_1= 0 kN ; F_2= 45 kN ; F_3 = 0 kN ; F_4= 37 kN}\) . Dziękuję za podpowiedź dotycząca prętów zerowych.

[kruszewski]

Wynik \(\displaystyle{ R_{Ax} = 82 \ kN}\) jest poprawny.

[misiakool13]

A mógłbym prosić o ostatnią przysługę od pana i czy mógłby pan pokazać mi jak obliczyć jakieś dowolne dwa węzły będące obok siebie?

[kruszewski]

Niech będzie to węzeł \(\displaystyle{ A}\), niech oś \(\displaystyle{ x}\) będzie pozioma ze zwrotem w prawo, a pionowa \(\displaystyle{ y}\) ma zwrot w górę.
Znane, bo obliczone wcześniej : \(\displaystyle{ R_A_x}\)
oraz \(\displaystyle{ R_{Ay}}\), niewiadomymi są : siła \(\displaystyle{ S_1}\) w pręcie pionowym 1 oraz siła \(\displaystyle{ S_4}\) w pręcie ukośnym 4.
Nie znając jeszcze zwrotów wektorów sił niewiadomych, przyjmujemy, że są one "od węzła" i przez to są dodatnie. Jeżeli po rozwiązaniu układu równań równowagi dla tego węzła ( jak i dla każdego innego) okaże się, że mają znaki ujemne, będzie to oznaczać że przyjęte dla tych "ujemnych" zwroty "od węzła" są w rzeczywistości przeciwne i zmieniamy je na "do węzła".
Proszę popatrzeć w posty p.siwymech, on to też objaśnia, może nawet lepiej(?).
Równania równowagi dla tego węzła:
\(\displaystyle{ \Sigma _ {Px}=-R_A_x+S_4 \cdot \cos 45^o =0}\) .....(1)
\(\displaystyle{ \Sigma_{Py} = -R{Ay} +S_1 + S_4 \cdot \sin 45^o =0}\) ....(2)
P+o rozwiązaniu tego układy równań mamy obliczone, już znane siły w prętach 1 i 4 i ustalone rzeczywiste ich zwroty.
Przystępując do rozwiązywania sąsiedniego węzła siły w prętach wcześniej obliczone uważamy za znane o zwrotach przeciwnych, jako reakcje.

[misiakool13]

Dziękuję za wyjaśnienie oraz przykładowe rozwiązanie- z całego serca dziękuję za pomoc a można jeszce dopytać skąd wiadomo jaki kąt wybrać przy cosinus i sinus? Zawsze w tym przypadku będzie to 45 stopni ?

[kruszewski]

Nie, nie zawsze. ten, akurat ma miarę \(\displaystyle{ 45^o}\), co wynika z obrazka.
W ogólności można, z może trzeba napisać tak : \(\displaystyle{ S_4_x=S_4 \cdot cos \alpha}\)
gdzie kąt \(\displaystyle{ \alpha =45^o}\) i jest zaznaczony na szkicu.
Vide załącznik.

[misiakool13]

Dziękuję za pomoc lecz zastanawia mnie czy sama zależność \(\displaystyle{ R_{ay}= - R_{by}}\) to nie za mało do dalszych obliczeń? Jest pan pewien że obliczenie momentu jest w tym przypadku nieważne?

[kruszewski]

Dziękuję za pomoc lecz zastanawia mnie czy sama zależność \(\displaystyle{ R_{ay}= - R_{by}}\) to nie za mało do dalszych obliczeń? Jest pan pewien że obliczenie momentu jest w tym przypadku nieważne?

Zależność: \(\displaystyle{ R_{ay}= - R_{by}}\) jest w przypadku tej kratownicy, jej planu i przyłożonych sił czynnych konsekwencją, wynikiem braku składowych pionowych tych sił. A prostopadłość reakcji podpory ślizgowej, przesuwnej tarcia powoduję brak poziomej składowej tej reakcji i równoważenie działania sił czynnych wzdłuż, w kierunku poziomym przez składową poziomą podpory stałej.
Obliczanie momentu sił w prętach zbiegających się w węźle, w jednym punkcie będącym środkiem geometrycznym węzła jest obliczaniem zbieżnego (w jednym punkcie) układu sił.
Zauważmy, że odległości prostych do których przynależą siły od punktu zbieżności są równe (każdej siły) zero. Dal "naszego" węzła napiszmy równanie sumy momentów sił względem tego punktu.
\(\displaystyle{ \Sigma_{P_i_A} = R_A_x \cdot 0 +R_A_y \cdot 0 + S_1 \cdot 0 + S_4 \cdot 0 =0}\)
Zauważmy, że 0=0. To równanie sumy momentów względem punktu zbieżności tam zbiegających się sił, tak jak każdego innego zbieżnego układu sił jest nieprzydatne do obliczeń, choć ma istotną wagę, zerową wartość, często wykorzystywaną.
Stąd powiedzenie:"obliczenie momentu jest w tym przypadku nieważne" nie jest właściwe. Z pokazanego wyżej obliczania sumy momentów tych sił zbieżnych wynika tylko niepotrzebność, obliczania bo nic nie wnosi będąc zerową tożsamością.
Rozwlekle to piszę, ale staram się to Koledze wyjaśnić i przekonać Go do słuszności nie pisana równania sumy momentów sił zbieżnych. Pewnie nie zbyt mi sie to udaję, ale staram się.

[misiakool13]

Zrozumiałem z tym że chodzi mi o momenty względem punktu A nie uwzględniając sił prętów tylko danych sił(F1,F2,F3,F4) na początkowym schemacie kratownicy - czy obliczenie tego momentu względem punktu A jest w tym przypadku potrzebne? Przepraszam za te może ciężkie wyjaśnienie ale też staram sie jakos dotrzeć do sedna mojego pytania

[kruszewski]

Efekty działania sił (czynnych) \(\displaystyle{ F}\) na kratownicę równoważone są oddziaływaniem podpór w postaci ich reakcji. Rozpatrując Owe "efekty" zachodzące w punkcie \(\displaystyle{ A}\) pytamy o "efekty" w prętach tam się zbiegającymi. Zatem poprzez reakcję w podporze uwzględniamy oddziaływanie sił czynnych na ten punkt.
Natomiast, gdyby rozpatrywać tę część kratownicy która pozostaje po przecięciu kratownicy przez te dwa pręty 1 i 4 i odrzuceniu ich końców wraz z przegubem i podporą stałą, to wówczas na efekty, czyli siły, w pozostałych przy kratownicy częściach prętów 1 i 4 będą mieć wpływ "bezpośredni" siły czynne \(\displaystyle{ F}\) utrzymujące w równowadze kratownicę pozbawioną podpory. I w tym przypadku siły te, działające rzeczywiście i bezpośrednio na tę część kratownicy należy uwzględniać w równaniach opisujących stan kratownicy, w tym i stan równowagi.

[misiakool13]

Bo właśnie z tym mam problem : jak napisać równanie momentu wzgledem punktu A dla siły np. F1 lub F3 - moment czyli siła razy ramie jednak w tym przypadku ramie należy rozpatrywać jako jakaś zależność trójkąta? Bo to bedzie odległość punktu od prostej , czyli np. F1 \(\displaystyle{ \cdot}\) \(\displaystyle{ \frac{a \sqrt{3} }{2}}\) ?