Matematyka.pl

Jak sparametryzować takie równanie?

\(\displaystyle{ (x^{2} + y^{2})^{2} = 2a^{2} (x^{2}-y^{2})}\)

Wiem, że powinno wyjść:
\(\displaystyle{ x = \frac{a \sqrt{2} \cdot \cos \alpha}{1+\sin ^{2} \alpha} \\
x = \frac{a \sqrt{2} \cdot \cos \alpha \cdot \sin \alpha}{1+\sin ^{2} \alpha}}\)

Widzę, że trzeba zastosować \(\displaystyle{ \cos \alpha}\) i \(\displaystyle{ \sin \alpha}\), bo występuje \(\displaystyle{ (x^{2} + y^{2})}\). Jednak z czego wynika cała reszta? Proszę o podpowiedź.

Moim zdaniem Twoja parametryzacja nie opisuje podanego równania.

A może taka:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=a \sqrt{2}\cos \alpha \sqrt{\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha} \\ y=a \sqrt{2}\sin \alpha \sqrt{\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha} \end{cases}}\)

Jak podstawię do wzoru to jest ok.
A skąd wziąłeś swoją parametryzację? Mógłbyś mi wytłumaczyć?

\(\displaystyle{ x = r \cos \alpha}\)
\(\displaystyle{ y = r \sin \alpha}\)

\(\displaystyle{ r^4 = 2a^2 r^2 (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)}\)
przyjmijmy, że promień wodzący jest nieujemny
\(\displaystyle{ r = \sqrt{2} a \sqrt{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}}\)

i wstaw to \(\displaystyle{ r}\) do wzoru na \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\)

Dziękuję bardzo za wyjaśnienie!