Matematyka.pl

Witam, otóż mam do rozwiązania następującą rekurencje niejednorodną:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 &\text{dla } n =0\\ \frac{2}{3} &\text{dla } n=1\\2a_{n-1}-a_{n-2}+n &\text{dla } n \ge 2 \end{cases}}\)

Równanie charakterystyczne ma postać:
\(\displaystyle{ x^{2}-2x+1=0}\)

Z czego wynika podwójny pierwiastek \(\displaystyle{ x_{0}=1}\)

Równanie ogólne zatem jest następujące \(\displaystyle{ a^{(0)}_{n}=r \cdot 1^{n}+s\cdot n\cdot1^{n}}\)

Moje pytanie dotyczy głównie metody przewidywań co potrzebne jest do dalszej częsci zadania. Jak rozpoznać że \(\displaystyle{ a^{(0)}_{n}}\) jest wielomianem pewnego stopnia bądź też nim nie jest. Różne przykłady widziałem i nie mogłem tego jakoś wywnioskować. Również chciałem prosić o pomoc w dokończeniu tego zadania żeby wiedzieć jak coś takiego zrobić.

Tutaj \(\displaystyle{ a^{(0)}_{n}=r \cdot 1^{n}+s\cdot n\cdot1^{n} = r + sn}\), więc mamy do czynienia z wielomianem liniowym.

A gdyby był pierwiastek podwojny równy 2 lub wiekszy?

To zależy. Zauważ, że gdyby pierwsze równanie miałoby podwójny pierwiastek \(\displaystyle{ -1}\), dostałbyś

\(\displaystyle{ a^{(0)}_{n}=r \cdot (-1)^{n}+s\cdot n\cdot (-1)^{n}}\),

a to nie jest wielomianem.

Dobrze ale w jaki sposób to sobie oszacować najprościej?

Co rozumiesz przez oszacowanie? Nie wydaje mi się, że potrzebne tu jest szacowanie czegokolwiek.
Może to się przyda:

To zadanie można również rozwiązać z użyciem funkcji tworzących. Wtedy nic nie trzeba zauważać ani zgadywać, choć jest więcej rachunków (nieco więcej).

Chodzi mi o to jak rozponać czy \(\displaystyle{ a_{n}^{(0)}}\) jest wielomianem czy też nie jest