Matematyka.pl

Treść zadania:

Gracz wyciąga z talii (52 kart) dwie karty (bez zwracania). Jeśli są to dwa asy, to wygrywa 15 zł, jeśli dwie z pozostałych figur (król, dama, walet), to wygrywa 10 zł. W każdym pozostałym przypadku gracz płaci 1 zł. Niech \(\displaystyle{ X}\) oznacza wygraną gracza. Znaleźć rozkład i dystrybuantę zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\).

Gdyby to była sytuacja, w której losując asa wygrywam, a w pozostałych przypadkach przegrywam, to zastosowałabym rozkład Bernoulliego. Ale tutaj mam nie tylko dwie możliwości wygranej różniącej się kwotą, ale jeszcze muszę zapłacić za brak sukcesu. Czy ktoś mógłby dać mi jakieś wskazówki? Przyznam się szczerze, że o ile z podanych rozkładów umiem wyznaczać różne potrzebne parametry w zadaniu, o tyle konstruować coś samemu od początku, to już jest kłopot.

Najpierw wyznacz pstwo trafienia dwóch asów

Losujemy dwie karty z 52, więc \(\displaystyle{ \Omega = {52 \choose 2} = \frac{52!}{2! \cdot 50!}= \frac{51 \cdot 52}{2} = 1326}\)

Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch asów z czterech możliwych: \(\displaystyle{ {4 \choose 2} = \frac{4!}{2!2!} = 6}\)
Prawdopodobieństwo wylosowania 2 asów spośród wszystkich kart: \(\displaystyle{ \frac{6}{1326}= \frac{1}{221}}\)

Czy ja po prostu muszę rozpatrzyć wszystkie możliwe scenariusze wylosowania różnych kart i dodać do siebie ich prawdopodobieństwa?
Przypadek 1: 2 asy,
Przypadek 2: 2 damy/walety/krole
Przypadek 3: dwie niewymienione wczesniej karty

Czy ja po prostu muszę rozpatrzyć wszystkie możliwe scenariusze wylosowania różnych kart i dodać do siebie ich prawdopodobieństwa?

Tak

Czyli prawdopodobieństwo dam/waletów/królów to : \(\displaystyle{ \frac{66}{1326}= \frac{11}{221}}\)

I trzeciego przypadku w zasadzie liczyć nie muszę, bo \(\displaystyle{ X}\) miał oznaczać wygraną gracza.

Czyli suma prawdopobieństw wygranej to \(\displaystyle{ P(X)=\frac{1}{221}+\frac{11}{221}=\frac{12}{221}}\).

I co teraz...? Co z tymi kwotami?

Rozkład musi się sumować do jedynki przypomnę

Też prawda! Czyli co w takim razie? Pomnożenie przez kwoty nie wyrówna mi prawdopodobieństwa do jedynki. Czyli jednak ten trzeci wariant też mam rozpatrywać?-- 6 kwi 2017, o 19:02 --Dobra czyli trzeci wariant
a) losuje dwie karty poza asami i figurami: \(\displaystyle{ \frac{{52-4-12 \choose 2}}{\Omega} = \frac{60}{221}}\)
b) losuje jednego asa i inną dowolną kartę \(\displaystyle{ \frac{{4 \choose 1} }{\Omega} \cdot \frac{{52-4 \choose 1} }{\Omega} = \frac{32}{221}}\)
c) losuje jedna figure i inną dowolną kartę \(\displaystyle{ \frac{{12 \choose 1} }{\Omega} \cdot \frac{{52-12 \choose 1} }{\Omega} = \frac{80}{221}}\)

Gdzieś jest błąd. Bo dalej nie sumuje mi się do jedynki...

\(\displaystyle{ \frac{60}{221}+ \frac{32}{221} + \frac{80}{221} + \frac{11}{221} + \frac{1}{221} \neq 1}\)