Funkcja Lagrange'a

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
magicstyle
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 6 kwie 2006, o 19:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Funkcja Lagrange'a

Post autor: magicstyle » 16 wrz 2007, o 17:08

mam takie pytanie zakladajac ze mam do okreslenia min i max funkcji z
\(\displaystyle{ z = x^2 - y^2}\) przy warunku \(\displaystyle{ x^2+y^2-1=0}\)
no i pozniej tworze f.lagrange'a
\(\displaystyle{ L(x,y,\lambda) = x^2 - y^2 + \lambda (x^2+y^2-1)}\)

Pozniej licze tego pochodne

\(\displaystyle{ L'_x=2x+2x\lambda}\)
\(\displaystyle{ L'_y=-2y+2y\lambda}\)
\(\displaystyle{ L'_\lambda=x^2+y^2-1}\)

I po wyliczeniu i podstawieniu x=0 oraz y=0(bo takie mi wyszly) pod ograniczenie wyszly mi nastepujace punkty
\(\displaystyle{ P_1(-1,0)}\) \(\displaystyle{ P_2(1,0)}\) dla \lambda=-1 oraz \(\displaystyle{ P_3(0,-1)}\) \(\displaystyle{ P_4(0,1)}\) dla\(\displaystyle{ \lambda=1}\)

No i teraz teoretycznie powinienem okreslic czy heksjany dla tych punkotw sa dodatnie czy ujemne co pozwolilo by mi okreslicz czy to max czy min funkcji

lecz gdy policze 2 pochodne i stworze ten ogolny heksjan wychodzi cos takiego

|0 2x 2y|
|1 2 0|
|1 0 -2|

a z tego nie moge przeciez okreslic czy heksjan jest dodatni czy ujemny
prosze o jakies wskazowki na temat tego oraz o przejzenie rozwiazania ktore podalem przed dojsciem do heksjanu bo byc moze tam gdzies kryje sie jakis blad.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Funkcja Lagrange'a

Post autor: Emiel Regis » 16 wrz 2007, o 20:33

1. Po pierwsze primo to wyznacznik ów nazywa się hesjanem nie heksjanem.
2.
Po drugie primo macierz Hessego którą otrzymałes nie jest hermitowska więc musiałeś coś namieszać w rachunkach.
3. Po trzecie primo z metody mnożników Lagrange'a korzysta się raczej wtedy kiedy nie idzie rozwikłać więzów... a u nas można łatwo powyznaczać co trzeba i mieć "tradycyjne" ekstrema.
Ja bym to zrobił tak:
\(\displaystyle{ f(x,y)=x^2-y^2 \\
x^2+y^2-1=0 => y^2=1-x^2 \\
f(x,1-x^2)=x^2-1+x^2 \\
f(x)=2x^2-1}\)

magicstyle
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 6 kwie 2006, o 19:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Funkcja Lagrange'a

Post autor: magicstyle » 17 wrz 2007, o 08:01

sory zle wpisalem hesjan

|0 2x 2y|
|2x 2 0|
|2y 0 -2|

to ze mozna rozwiazac ten przyklad 2 sposobem wiem ale mi chodzi wlasnie o lagrange'a

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Funkcja Lagrange'a

Post autor: Emiel Regis » 17 wrz 2007, o 11:24

heh, kombajnem chcesz kosić trawnik w ogródku?
No ale jeśli jesteś uparty to napisz jak liczysz te pochodne, bo macierz to chyba z kosmosu wziąłeś.

magicstyle
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 6 kwie 2006, o 19:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź

Funkcja Lagrange'a

Post autor: magicstyle » 17 wrz 2007, o 12:45

chodzi o zasade nie o ten przyklad
wiem ze mozna rozwiazac go duzo prosciej poprzez podstawienie ale jak dostaje polecenie uzyc f.lagrangea to nie moge sobie pozwolic na jakas dowolnosc

a pochodne to

\(\displaystyle{ L''_{\lambda\lambda}=0}\)
\(\displaystyle{ L''_{\lambda x}=2x}\)
\(\displaystyle{ L''_{\lambda y}=2y}\)
\(\displaystyle{ L''_{x x}=2}\)
\(\displaystyle{ L''_{y y}=-2}\)
\(\displaystyle{ L''_{x \lambda}=2x}\)
\(\displaystyle{ L''_{y \lambda}=2y}\)
\(\displaystyle{ L''_{x y}=0}\)
\(\displaystyle{ L''_{y x}=0}\)

stad wlasnie wziely mi sie te pochodne inna sprawa ze przeczytalem gdzies ze mozna sprawdzic max min przez wyznacznik tej maciezy i w tedy wychodzi

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Funkcja Lagrange'a

Post autor: Emiel Regis » 17 wrz 2007, o 14:25

Tak, po wyznaczniku wtedy poznajemy, jeśli jest on większy od zera to wtedy jest maksimum, jeśli mniejszy od zera to minimum.

Co do pochodnych to ja mam tak:
\(\displaystyle{ L_{xx}=2+2 \lambda \\
L_{xy}=0 \\
L_{x \lambda}= \lambda x \\
L_{yx}=0 \\
L_{yy}=-2+2 \lambda \\
L_{y \lambda}=2y \\
L_{\lambda x}=2x \\
L_{\lambda y}=2y \\
L_{\lambda \lambda}=0}\)

(w tej kolejności najlepiej je wpisywać wierszami w macierz)

Tylko niestety wychodzi mi sprzeczny układ warunków koniecznych. Bo masz coś takiego:
\(\displaystyle{ L_x=0 L_y=0 L_{\lambda}=0}\)

Bo zwróć uwagę że wyliczone przez Ciebie x=0 oraz y=0 nie spełnia warunku...

ODPOWIEDZ