Matematyka.pl

Mam problem z zadaniami następującego typu:

Oblicz pole obszaru ograniczonego następującymi krzywymi:
\(\displaystyle{ y^2 - 2y + x^2 = 0}\), \(\displaystyle{ y^2 - 4y + x^2 = 0}\), \(\displaystyle{ y = \sqrt{3}x}\), \(\displaystyle{ \sqrt{3}y = x}\)

Ogólnie myślałem że następujące rozumowanie jest poprawne: przechodzę na współrzędne biegunowe (wtedy kąt jest z przedziału \(\displaystyle{ \left[ \frac{ \pi }{6}, \frac{ \pi }{3} \right]}\), a \(\displaystyle{ r}\) jest z przedziału \(\displaystyle{ 2\sin{ \alpha} \le r \le 4\sin{ \alpha}}\)) i mam do rozwiązania następującą całkę: \(\displaystyle{ \int_{\frac{ \pi }{6}}^{\frac{ \pi }{3}} \left( \int_{2\sin\alpha}^{4\sin\alpha} \left( -2r\sin\alpha \right) r dr \right) d\alpha}\).
Jednak wynik okazuje się być niepoprawny (czyli pewnie samo rozumowanie też, bo rachunki zostały sprawdzone wielokrotnie) - czy ktoś jest w stanie wyłapać błąd?

Moim zdaniem pole to:

\(\displaystyle{ P=\int_{\frac{ \pi }{6}}^{\frac{ \pi }{3}} \left( \int_{2\sin\alpha}^{4\sin\alpha} r \dd r \right) \dd \alpha}\).

I rzeczywiście wynik się zgadza, rachunki są znacznie prostsze.
Ale pytanie: dlaczego? Może zadam pytanie nowicjusza, ale czemu przy współrzędnych biegunowych nie odejmujemy jednego równania od drugiego?
Bo zaczynam się domyślać, że ja przypadkowo obliczałem objętość pod jakąś tam funkcją dwóch zmiennych, (taką niestworzoną, że wychodziło to \(\displaystyle{ -2r\sin\alpha}\)).
W takim razie ogólnie, gdy chcemy powierzchnię płaską, to zawsze bierzemy sam jakobian? (Bo domyślam się, że sama powierzchnia określa się przez przedziały całkowania)

Ale to nie jest tylko kwestia współrzędnych biegunowych. Jak liczysz pole za pomocą całki podwójnej, to całkujesz jedynkę (no, potem dochodzi ew. jakobian przy zamianie zmiennych, jak tu \(\displaystyle{ r}\) przy przejściu na biegunowe). Odejmowałbyś funkcje, gdybyś próbował to liczyć z użyciem całki pojedynczej (zgodnie z interpretacją geometryczną całki oznaczonej - tej pojedynczej). Tak po prawdzie, to całką podwójną liczysz objętość, tylko że gdy w funkcji podcałkowej masz \(\displaystyle{ 1}\), to jakby jeden wymiar jest jednostkowy (więc dla wyniku nie ma to znaczenia).

Rzeczywiście, teraz to wszystko się trzyma kupy, dziękuję bardzo