Matematyka.pl

Witam. Męczę się z tym zadaniem już ponad godzinę - nie mam pojęcia, jak "formalnie" może wyglądać rozwiązanie. Czy mógłbym prosić o jakąś podpowiedź?

Udowodnij, że liczba postaci \(\displaystyle{ 111...1}\) (3n cyfr) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 33...3}\) (n cyfr)

\(\displaystyle{ \overbrace{11\dots1}^{3n}= \frac{10^{3n}-1}{9}\\ \overbrace{33\dots3}^n=3\cdot \frac{10^n-1}{9}}\)

Ponadto ze wzoru na różnicę sześcianów mamy
\(\displaystyle{ 10^{3n}-1^3=(10^n-1)(10^{2n }+10^n+1)}\)
więc
\(\displaystyle{ \frac{10^{3n}-1}{9} = \frac{10^n-1}{9} \cdot (10^{2n }+10^n+1)}\)
i wystarczy, że uzasadnisz, iż ten drugi czynnik dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\), a to jest trywialne
(wskazówka \(\displaystyle{ 10=9+1}\)).

Inaczej:
Zastanów się wpierw nad podzielnością przez \(\displaystyle{ 11..1}\) (n cyfr)
Z jakich cyfr składa się wynik? Jaka jest ich suma? Czy jest podzielna przez 3?

@Premislav
Dzięki, jesteś naprawdę niezastąpiony. O to mi chodziło:)

@kerajs
Wielkie dzięki za odpowiedź
Kombinowałem właśnie w ten sposób, ale nie wiem, jak mógłbym to "ładnie" zapisać.

Raczej nie ładnie, ale chyba poprawnie:


\(\displaystyle{ \frac{\overbrace{11\ldots1}^{3n}}{\underbrace{33\ldots3}_{n}}=\frac{\overbrace{11\ldots1}^{n}\overbrace{11\ldots1}^{n}\overbrace{11\ldots1}^{n}}{3 \cdot \underbrace{11\ldots1}_{n}}=\frac{1\overbrace{00\ldots0}^{n-1}1\overbrace{00\ldots0}^{n-1}1}{3}}\)
Ponieważ suma cyfr licznika \(\displaystyle{ 1+0+0+...+0+1+0+0+...+0+1=3}\) jest podzielna przez 3 to licznik przez 3 się dzieli i teza jest prawdziwa.
QED