Matematyka.pl

Wiadomo, że jeśli jakiś zbiór z określonymi działaniami jest podprzestrzenią przestrzeni liniowej to jest przestrzenią liniową. Czy w drugą stronę też to można tak od razu stwierdzić? Czy fakt bycia przestrzenią liniową i zawierania w dowolnej przestrzeni liniowej czyni ją od razu podprzestrzenią tej przestrzeni?

Na jakiej definicji podprzestrzeni liniowej pracujesz?

Nie. Zbiór liczb wymiernych \(\displaystyle{ \QQ}\) spełnia definicje przestrzeni liniowej nad ciałem liczb wymiernych i zawiera się w liczbach rzeczywistych \(\displaystyle{ \RR}\). Te są z jednej strony przestrzenia liniową nieskończonengo wymiaru nad ciałem liczb wymiernych (i w tym sensie \(\displaystyle{ \QQ}\) jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ \RR}\)), ale są również przestrzenią liniową wymiaru jeden nad ciałem liczb rzeczywistych. I w tym sensie \(\displaystyle{ \QQ}\) nie jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ \RR}\).