Matematyka.pl

"Udowodnij że suma ośmiu kolejnych liczb naturalnych niepodzielnych przez 3 jest podzielna przez 12."

Doszedłem do tego, że:
\(\displaystyle{ \frac{(3n+1)+(3n+2)+(3n+4)+...+(3n+11)}{12} = \frac{24n+48}{12}=2n+4}\).
Wychodzi mi, że ta suma jest również podzielna przez \(\displaystyle{ 24}\): \(\displaystyle{ \frac{24n+48}{24}=n+2}\). Jednakże gdy dodam liczby \(\displaystyle{ 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11}\) oraz \(\displaystyle{ 13}\) okazuje się, że ich suma wynosi \(\displaystyle{ 60}\), a \(\displaystyle{ 60}\) nie jest podzielne przez \(\displaystyle{ 24}\). Bardzo proszę o pomoc, gdzie popełniłem błąd. Bardzo dziękuję za (p)odpowiedź.

A od kiedy liczba \(\displaystyle{ 3}\) nie jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\)?

Miałem na myśli \(\displaystyle{ 4}\), dzięki za spostrzeżenie, już poprawione.

W Twoim dowodzie najmniejsza z tych liczb daje przy dzieleniu przez 3 resztę 1, a sprawdzasz taki zestaw, gdzie ta najmniejsza liczba przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.
To jest też wskazówką do tego, że Twój dowód jest niekoniecznie pełny.

Hmm... czyli:
\(\displaystyle{ \frac{(3n+2)+(3n+4)+(3n+5)+...+(3n+13)}{12}= \frac{24n+60}{12}=2n+5}\)
Jeżeli podałbym oba te równania oraz dowód słowny (np.: bez znaczenia, czy zacznie się od pierwszej liczby tej sumy, która daje nam z dzielenia przez \(\displaystyle{ 3}\) resztę \(\displaystyle{ 1}\), czy też resztę \(\displaystyle{ 2}\), w obu przypadkach suma ta podzielona na \(\displaystyle{ 12}\) daje nam liczbę naturalną) to czy można to uznać jako pełne rozwiązanie tego zadania?

Myślę, że to by wystarczyło. Napisałbyś, że rozważymy dwa przypadki i w każdym pokazałbyś, że teza jest prawdziwa - moim zdaniem jak najbardziej ok. Oczywiście, jeżeli tego typu zadanie ma być przez kogoś sprawdzane (w szkole/na konkursie), to warto pamiętać o tym, by napisać założenia takie jak \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\), gdyż na to z pewnością zwraca się uwagę.

Bardzo dziękuję za odpowiedź.

Zauważ, że gdybyś poszedł inną drogą, to nie miałbyś takiego problemu.

No bo w dzieleniu przez \(\displaystyle{ 3}\) liczby naturalnej masz zawsze resztę \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 2}\)

Czyli jak zacząłeś od \(\displaystyle{ 3n+1}\) to \(\displaystyle{ r=1}\), następna \(\displaystyle{ 3n+2}\) to \(\displaystyle{ r=2}\), następna \(\displaystyle{ 3n+4}\) da również resztę \(\displaystyle{ r=1}\) itd.

Niezależnie czy zaczynasz od liczby dającej resztę \(\displaystyle{ 1}\) czy \(\displaystyle{ 2}\), to dodajesz \(\displaystyle{ 4}\) liczby z \(\displaystyle{ r=1}\) oraz \(\displaystyle{ 4}\) liczby z \(\displaystyle{ r=2}\), co daje łącznie \(\displaystyle{ r=12}\), co kończy dowód.

Oczywiście ta metoda, którą zaproponowałeś jest również w porządku.