w przestrzeni euklidesowej \(\displaystyle{ R^{2}}\) (ze zwykłym iloczynem skalarnym ) wyznacz obraz wektora \(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}1\\0\end{array}\right|}\) w rzucie prostopadłym na podprzestrzeń Sol(x-y=0)
prosze o pomoc w takowym zadaniu szukałem ale niestety bezskutecznie
z gory dzięki
wyznacz obraz wektora
-
scyth
- Gość Specjalny
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
wyznacz obraz wektora
Jeśli Sol(x-y=0) oznacza zbiór rozwiązań równania x-y=0, czyli y=x, to będzie to następująco:
Wektor jednostkowy z podprzestrzeni, na którą rzutujemy, to wektor \(\displaystyle{ \left[\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2} \right]}\).
Można zauważyć, że rzutujemy wektor jednostkowy, zatem wektor jednostkowy z podprzestrzeni jest naszym rozwiązaniem. Jednak w ogólnym przypadku liczylibysmy dalej:
Iloczyn skalarny tych dwóch wektorów:
\(\displaystyle{ |\vec{a}|=|[1,0]|=1 \\
|\vec{b}|=\left|\left[\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2} \right]\right|=1 \\
\vec{a}\circ\vec{b}=\frac{\sqrt{2}}{2} \\
\cos =\frac{\sqrt{2}}{2} \\
\vec{a_b}=\frac{\vec{b}\cdot|\vec{a}|\cdot\cos\alpha}{|\vec{b}|}=\left[\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2} \right]}\)
Wektor jednostkowy z podprzestrzeni, na którą rzutujemy, to wektor \(\displaystyle{ \left[\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2} \right]}\).
Można zauważyć, że rzutujemy wektor jednostkowy, zatem wektor jednostkowy z podprzestrzeni jest naszym rozwiązaniem. Jednak w ogólnym przypadku liczylibysmy dalej:
Iloczyn skalarny tych dwóch wektorów:
\(\displaystyle{ |\vec{a}|=|[1,0]|=1 \\
|\vec{b}|=\left|\left[\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2} \right]\right|=1 \\
\vec{a}\circ\vec{b}=\frac{\sqrt{2}}{2} \\
\cos =\frac{\sqrt{2}}{2} \\
\vec{a_b}=\frac{\vec{b}\cdot|\vec{a}|\cdot\cos\alpha}{|\vec{b}|}=\left[\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2} \right]}\)