Matematyka.pl

Proszę o pomoc:
Udowodnij indukcyjnie że:
\(\displaystyle{ 3+3 \cdot 5+3 \cdot 5 ^{2}+...+3 \cdot 5 ^{n} = \frac{3 \cdot (5 ^{n+1}-1) }{4} , n \in \NN \cup \{0\}}\)

W dowodzie indukcyjnym doszedłem do tego momentu że:
\(\displaystyle{ L= \frac{3 \cdot (5 ^{k+1}-1) }{4}+3 \cdot 5 ^{k+1}}\)
i nie wiem jak dojśc do tego że L = P gdzie \(\displaystyle{ P= \frac{3 \cdot (5 ^{(k+1)+1}-1) }{4}}\)

Proszę o pomoc

\(\displaystyle{ \frac{3 \cdot (5 ^{k+1}-1) }{4}+3 \cdot 5 ^{k+1}=\frac{3 \cdot (5 ^{k+1}-1) +3\cdot 4 \cdot 5 ^{k+1}}{4}=\frac{3 \cdot\left( 5 ^{k+1}-1 + 4 \cdot 5 ^{k+1}\right) }{4}=\\=\frac{3 \cdot \left(5\cdot 5 ^{k+1}-1) }{4}=\frac{3 \cdot\left( 5 ^{\left( k+1\right) +1}-1\right) }{4}}\)

JK

Jan Kraszewski pisze:\(\displaystyle{ \frac{3 \cdot (5 ^{k+1}-1) }{4}+3 \cdot 5 ^{k+1}=\frac{3 \cdot (5 ^{k+1}-1) +3\cdot 4 \cdot 5 ^{k+1}}{4}=\frac{3 \cdot\left( 5 ^{k+1}-1 + 4 \cdot 5 ^{k+1}\right) }{4}=\\=\frac{3 \cdot \left(5\cdot 5 ^{k+1}-1) }{4}=\frac{3 \cdot\left( 5 ^{\left( k+1\right) +1}-1\right) }{4}}\)

JK

Skąd wiedziałeś co trzeba liczyć