Matematyka.pl

Cześć,
mam takie zadanie: Udowodnić, że \(\displaystyle{ \frac{x}{x+1} \le \ln (1+x)}\) dla każdego \(\displaystyle{ x > -1}\).
Mógłbym sobie to bez problemu i dość dokładnie narysować, ale muszę to rozwiązać korzystając z rachunku różniczkowego. Nie mam jednak za bardzo pomysłu jak tutaj wykorzystać pochodne. Różniczkowanie stronami to trochę śliska sprawa, bo patrząc na przykład równania: \(\displaystyle{ 2x=2}\) to licząc pochodną z każdej strony dostanę sprzeczność. Jak więc należy zrobić to poprawnie?
Proszę o wskazówki i pozdrawiam

wszystko na jedną stronę dajesz i liczysz pochodną

I tak też robiłem. No i po kilku rachunkach mam taką nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{-x}{(x+1)^2} \le 0}\), ale to jest prawda tylko dla iksów dodatnich. Dla ujemnych licznik robi się dodatni, a dół zawsze jest dodatni, a razem nie daje to liczby ujemnej.

Ale chwila chwila. Nierówność dla pochodnych nie implikuje nierówności dla pierwotnego zagadnienia.

Więc teraz bzdurę robisz. Pomyśl jak inaczej możesz, korzystając z rachunku różniczkowego, pokazać, że

\(\displaystyle{ f(x) \le 0}\)

wiedząc kilka rzeczy o pochodnej \(\displaystyle{ f}\). Właśnie, jakich rzeczy?

Wiem na pewno, że mogę znaleźć przedziały monotoniczności i ekstrema. Wykonując badanie przebiegu zmienności funkcji mogę się dowiedzieć kilku istotnych rzeczy, ale żeby wprost pokazać, że funkcja przyjmuje wartości ujemne? Nie wiem czy chodzi Tobie o coś poza klasycznym badaniem przebiegu zmienności funkcji.

Wystarczy klasyczny przebieg zmienności, zgadza się

Pochodna policzona i jest w poście wyżej. Widzimy w zerze ekstremum (maksimum), a w -1 asymptotę pionową zarówno pochodnej jak i funkcji pierwotnej. Tutaj trzeba szukać?

No to skoro w zerze jest maksimum, pochodna jest dodatnia w przedziale \(\displaystyle{ (-1,0)}\) i ujemna w \(\displaystyle{ (0,+\infty)}\), to musi to być maksimum globalne. A w zerze Twoja funkcja przyjmuje wartość zero.

Czyli w \(\displaystyle{ -1}\) mam asymptotę pionową i funkcja dąży tam do minus nieskończoności (przy\(\displaystyle{ -1^+)}\), a skoro w zerze mam wartość funkcji zero (a wg pochodnej funkcja jest rosnąca dla iksów ujemnych) to znaczy, że ona rośnie jednocześnie mając wartości ujemne. Czy to kończy zadanie?

Tak, jeszcze tylko ważne jest, że dla \(\displaystyle{ x>0}\) pochodna funkcji jest ujemna.

No tak, funkcja maleje, a skoro w zerze było maksimum to funkcja na prawo od zera musi przyjmować znowu wartości ujemne.
Dziękuję Wam za pomoc i pozdrawiam