Matematyka.pl

Dzień dobry mam do policzenia długość łuku, określonego przez funkcję kwadratową \(\displaystyle{ f\left( x\right) = \frac{ x^{2} }{2000}}\) na przedziale od \(\displaystyle{ -100}\) do \(\displaystyle{ 100}\)

A więc:

\(\displaystyle{ f'\left( x\right) = \frac{x}{1000}}\)

następnie korzystam ze wzoru na długość łuku:

\(\displaystyle{ Ł = \int_{-100}^{100} \sqrt{1+\left( \frac{x}{1000} \right) ^{2} } dx = \frac{1}{1000} \int_{-100}^{100} \sqrt{1000 ^{2} + x^{2} }dx}\)

Skupmy się na całce nieoznaczonej \(\displaystyle{ \int_{}^{} \sqrt{1000 ^{2} + x^{2} }dx}\) z pominięciem granic i liczby przed całką jak to rozwiążę to z zadaniem sobie poradzę A więc mamy całkę:

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \sqrt{1000 ^{2} + x^{2} }dx}\)

Z którą mam duży problem, z tego co się dowiedziałem jest to tzw. całka Abela i aby ją rozwiązać to w tym wypadku stosujemy podstawianie:

\(\displaystyle{ \sqrt{ax ^{2} + bx + c } = tx \pm \sqrt{c}}\) gdy \(\displaystyle{ c>0}\) a tak mamy w tym wypadku:

A więc dalej:

\(\displaystyle{ \sqrt{1000 ^{2} + x ^{2} } = xt+1000}\)
\(\displaystyle{ x = \frac{2000t}{1-t ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt} = \frac{2000\left( 1+t ^{2} \right) }{\left( 1-t ^{2} \right) ^{2} }}\)

Wtedy nasza całka ma postać:

\(\displaystyle{ \int_{}^{}\left( \frac{2000t ^{2} }{1-t ^{2} } + 1000\right) \left( \frac{2000\left( 1+t ^{2} \right) }{\left( 1-t ^{2} \right) ^{2} } \right)dt = 2 \cdot 10 ^{6} \int_{}^{} \frac{\left( 1+t ^{2} \right) ^{2} }{\left( 1-t ^{2} \right) ^{3} } dt}\)

Na to już niestety pomysłu nie mam, może ktoś wie jak to rozwiązać a może gdzieś robię błąd, lub można zastosować jakieś inne podstawienie? Bardzo proszę o pomoc, podpowiedzi

Z tego co widzę, to popełniasz błąd przy wyznaczaniu \(\displaystyle{ x}\) z podstawienia. Powinno być \(\displaystyle{ x^2 = \frac{2000t}{1-t ^{2} }}\), ale mniejsza z tym bo i tak to podstawienie tutaj nie zadziała. Musiałbyś mieć jeszcze \(\displaystyle{ x}\) poza pierwiastkiem, aby móc zastosować to podstawienie.

Jest parę metod wyznaczenia tej całki - może ja zaprezentuję moją ulubioną, czyli podstawienie hiperboliczne :
\(\displaystyle{ x=1000^2 \cdot \sinh t}\)

Później, po podstawieniu, korzystasz z jedynki hiperbolicznej i powinno wyjść.

Dziękuję, za odpowiedź

Tak na marginesie, po podniesieniu obu stron do kwadratu \(\displaystyle{ x ^{2}}\) się skróci, ale racja już widzę że to podstawienie tutaj nie pomoże

Najpierw sobie muszę przypomnieć funkcje hiperboliczne i zajrzeć do starych notatek, jutro się z tym pobawię bo dziś już nie mam głowy do tego, napiszę jutro wieczorem rezultaty, i odwdzięczę się punktem

cosinus90, powinno być \(\displaystyle{ x=1000\cdot \sinh t}\).

Poza tym mijasz się nieco z prawdą, podstawienie \(\displaystyle{ \sqrt{1000 ^{2} + x ^{2} } = xt+1000}\) tutaj zadziała, choć nie jest jakoś szczególnie wygodne.

Można również podstawić \(\displaystyle{ x=1000\tg t}\), po drodze dostaniemy do policzenia znaną i łatwą całkę
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{1}{ \cos^3 t}\,\dd t}\)
Ale chyba z sinusem hiperbolicznym (jak ktoś zna) jest najszybciej.

Premislav pisze:cosinus90, powinno być \(\displaystyle{ x=1000\cdot \sinh t}\).

Zgadza się, z rozpędu umieściłem drugą potęgę, dzięki za czujność.

Co do uwag na temat podstawienia - teoretycznie masz rację, ale chyba nikt z nas nie życzy autorowi tematu przekopywania się przez kolejne rachunki związane z tym podstawieniem dlatego od razu podrzuciłem bardziej elegancki sposób.

Simon86 pisze:\(\displaystyle{ \int_{}^{} \sqrt{1000 ^{2} + x^{2} }dx}\)

Ja bym skorzystała z gotowego wzoru (B01) lub (B01a)
... wymiernych

kinia7, oczywiście że tak też można, bo wiele jest wzorów całkowych o różnym stopniu zaawansowania. Ale autor tematu ewidentnie poszukiwał metody jej rozwiązania (oraz wyniku), czasem warto wiedzieć jak coś działa

cosinus90, Zgadza się czułem duży niedosyt stosując wzory podane przez kinia7, w linku w sumie nie wiedziałem że tyle ich jest, myślałem że jest tylko kilka na krzyż w moich tablicach matematycznych a tu proszę, ale mniejsza z tym

Czyli zastosujemy podstawienie \(\displaystyle{ x=1000\cdot \sinh t}\)

\(\displaystyle{ dx = 1000 \cosh t dt}\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \sqrt{1000 ^{2} + x^{2} }dx = \int_{}^{} \sqrt{1000 ^{2} + 1000 ^{2}\left( \sinh t \right)^{2}} \cdot 1000 \cosh t dt =1000 ^{2} \int_{}^{} \sqrt{1+\left( \sinh t \right)^{2}} \cosh t dt = 1000^{2} \int_{}^{} \left( \cosh t \right)^ {2} dt}\)

\(\displaystyle{ = \frac{1000 ^{2}}{2} \int_{}^{} \left(\cosh2t + 1\right) dt = \frac{1000 ^{2} }{2}\left( \frac{1}{2} \cdot \sin h2t + t \right) = \frac{1000 ^{2} }{2}\left[ \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \left( \frac{x}{1000} \right) \cdot \frac{ \sqrt{1000 ^{2} + x ^{2} } }{1000} + \arcsin h \left( \frac{x}{1000} \right) \right]}\)

\(\displaystyle{ = \frac{x}{2} \cdot \sqrt{1000 ^{2} + x ^{2} } + \frac{1000 ^{2} }{2} \arcsin h \left( \frac{x}{1000} \right)}\)

I tak doszliśmy do rezultatu jaki jest we wzorze B01a i teraz mogę spać spokojnie dopiero

Dziękuję wszystkim za pomoc, nie wpadł bym raczej na podstawienie z sinusem hiperbolicznym, swoją drogą to jestem ciekaw jak to zrobić z podstawieniem które zaproponowałem na początek sokoro Premislav napisał że zadziała

-- 15 mar 2017, o 20:36 --

Mam mały problem z LateXem jak w ten pusty nawias w całce wyżej który jest podniesiony do kwadratu wstawiam \(\displaystyle{ \cosh t}\) to jest błąd i cały zapis się nie wyświetla. Jeśli osoba uprawniona tu zajrzy i będzie wiedzieć o co chodzi to proszę o korektę

-- 15 mar 2017, o 20:52 --

Podzieliłem na trzy części i LateX już złapał

Chyba najlepiej to zrobić tak, jak zaproponował cosinus90 (z sinusem hiperbolicznym), czyli tak, jak to wyżej zrobiłeś, ale pokażę, że da się też "Twoim" sposobem.
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \sqrt{1000 ^{2} + x^{2} }\,\dd x =\left|\begin{array}{cccc} \sqrt{1000 ^{2} + x^{2} }=xt+1000\\x= \frac{2000t}{1-t^2}\\ \,\dd x=2000 \frac{1+t^2}{(1-t^2)^2} \,\dd t \end{array}\right|=\\ \\= \int_{}^{} \left( \frac{2000t^2}{1-t^2}+1000 \right)2000 \frac{1+t^2}{(1-t^2)^2} \,\dd t=4\cdot 1000^2 \int_{}^{} \frac{t^2+t^4}{(1-t^2)^3}+2\cdot 1000^2 \int_{}^{} \frac{1+t^2}{(1-t^2)^2}\,\dd t=\\=4\cdot 1000^2 \int_{}^{} \frac{t^2-1+1-2t^2+t^4+2t^2}{(1-t^2)^3}\,\dd t+2\cdot 1000^2 \int_{}^{} \frac{t^2-1+2}{(1-t^2)^2}\,\dd t=\\=6\cdot 1000^2 \int_{}^{} \frac{\,\dd t}{1-t^2}+4\cdot 1000^2 \int_{}^{} \frac{2t^2}{(1-t^2)^3}\,\dd t}\)
Teraz całkujemy przez części:
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{4t^2}{(1-t^2)^3}\,\dd t= \frac{t}{(1-t^2)^2}- \int_{}^{} \frac{\,\dd t}{(1-t^2)^2}= \frac{t}{(1-t^2)^2}- \int_{}^{} \frac{1-t^2+t^2}{(1-t^2)^2}\,\dd t=\\= \frac{t}{(1-t^2)^2}- \int_{}^{} \frac{\,\dd t}{1-t^2}- \int_{}^{} \frac{t^2}{(1-t^2)^2}\,\dd t=\\=\frac{t}{(1-t^2)^2}- \int_{}^{} \frac{\,\dd t}{1-t^2}- \frac{t}{2(1-t^2)}+\frac 1 2 \int_{}^{} \frac{ \,\dd t}{1-t^2}}\)
A zatem mamy:
\(\displaystyle{ 4\cdot 1000^2 \int_{}^{} \frac{2t^2}{(1-t^2)^3}\,\dd t=2\cdot 1000^2 \frac{t}{(1-t^2)^2}-1000^2 \int_{}^{} \frac{\dd t}{1-t^2}-1000^2 \frac{t}{1-t^2}}\)
Czyli
\(\displaystyle{ 6\cdot 1000^2 \int_{}^{} \frac{\,\dd t}{1-t^2}+4\cdot 1000^2 \int_{}^{} \frac{2t^2}{(1-t^2)^3}\,\dd t=\\=5\cdot 1000^2 \int_{}^{} \frac{\,\dd t}{1-t^2}+2\cdot 1000^2 \frac{t}{(1-t^2)^2}-1000^2 \frac{t}{1-t^2}}\)
i z tym już z pewnością byś sobie poradził (\(\displaystyle{ \frac{2}{1-t^2}= \frac{1}{1+t}+ \frac{1}{1-t}}\)). Krótko mówiąc, nie polecam.

No tak, czyli trzeba było rozbić na dwie całki, ten sposób też przerobie, dzięki za poświęcenie i rozpiskę tego, chciałem wiedzieć jak to działa bo całkę wykorzystałem w mojej pracy

\(\displaystyle{ \blue I=\int_{}^{} \sqrt{a ^{2} + x^{2} }\,\dd x}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{a^2+x^2}=t-x\ \ /^2}\)
\(\displaystyle{ a^2+x^2=t^2-2xt+x^2\ \ \Rightarrow \ \ x=\frac{t^2-a^2}{2t}\ \ \Rightarrow \ \ \dd x=\frac{t^2+a^2}{2t^2}\,\dd t}\)
\(\displaystyle{ I=\int \frac{(t^2+a^2)^2}{4t^3}\,\dd t=\frac14\int\left( t+\frac{2a^2}{t}+\frac{a^4}{t^3}\right) \dd t=\frac18t^2+\frac12a^2\ln |t|-\frac{a^4}{8t^2}+C}\)
\(\displaystyle{ I=\frac18 \cdot \frac{t^4-a^4}{t^2} +\frac12a^2\ln |t|+C}\)
\(\displaystyle{ I=\frac18 \cdot \frac{(t^2-a^2)(t^2+a^2)}{t^2} +\frac12a^2\ln |t|+C}\)
\(\displaystyle{ I=\frac18 \cdot \frac{(\sqrt{a^2+x^2}+x)^2-a^2)((\sqrt{a^2+x^2}+x)^2+a^2)}{(\sqrt{a^2+x^2}+x)^2} +\frac12a^2\ln\left| \sqrt{a^2+x^2}+x\right|+C}\)
\(\displaystyle{ \blue I=\frac12x\sqrt{a^2+x^2} +\frac12a^2\ln\left| \sqrt{a^2+x^2}+x\right|+C}\)