Matematyka.pl

\(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ d}\) są względnie pierwszymi liczbami naturalnymi. Należy udowodnić że w ciągu arytmetycznym o pierwszym wyrazie \(\displaystyle{ a}\) i różnicy \(\displaystyle{ d}\) istnieje nieskończenie wiele potęg liczby \(\displaystyle{ a}\).

Niech \(\displaystyle{ a_n}\) będzie wyrazem tego ciągu arytmetycznego o indeksie n. Wtedy \(\displaystyle{ a_n=a+(n-1)d}\). Niech \(\displaystyle{ n_k= \frac{a^k-a}{d}+1}\), a wstawiając to do wzorku, otrzymamy \(\displaystyle{ a_n_k=a^k}\). Wystarczy zatem pokazać, że istnieje nieskończenie wiele \(\displaystyle{ k \in \NN}\), dla których liczba \(\displaystyle{ \frac{a^k-a}{d}}\) jest liczbą naturalną. Ponieważ z założenia \(\displaystyle{ (a,d)=1}\), więc to oznacza, że mamy w sumie pokazać, iż dla nieskończenie wielu \(\displaystyle{ k \in \NN}\) liczba \(\displaystyle{ d}\) dzieli \(\displaystyle{ a^{k-1}-1}\). W tym celu wystarczy skorzystać z twierdzenia Eulera: wiemy, że ponieważ \(\displaystyle{ (a,d)=1}\), to \(\displaystyle{ a^{\phi(d)}\equiv 1\pmod{d}}\), gdzie \(\displaystyle{ \phi}\) to funkcja Eulera. Stąd dla dowolnego \(\displaystyle{ m \in \NN}\) mamy
\(\displaystyle{ a^{m \cdot \phi(d)}=(a^{\phi(d)})^m \equiv 1 \pmod{d}}\),
więc wystarczy wziąć \(\displaystyle{ k=m\cdot \phi(d)+1}\) dla \(\displaystyle{ m =1,2,3\dots}\) i załatwione.
Ale pewnie da się łatwiej, chętnie się o tym przekonam.

dziękuję c: