Matematyka.pl

Oblicz \(\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( \frac{\sqrt[2]{2}+\sqrt[4]{4}+...+\sqrt[2n]{2n}}{1+\sqrt[3]{3}+...\sqrt[2n-1]{2n-1}} \right) ^n}\)

To takie wyciąganie trupa z szafy no ale zobaczymy pewne rzeczy:

\(\displaystyle{ \left( \frac{2^{ \frac{1}{2} }+4^{ \frac{1}{4} }+...+(2n)^{ \frac{1}{2n} }}{ 1+3^{\frac{1}{3} }+5^{ \frac{1}{5} }+...+(2n-1)^{ \frac{1}{2n-1} }} \right)^n }\)

Ze względu na funkcję:

\(\displaystyle{ f(x)=x^{ \frac{1}{x} }}\)

Tu wykres:



Jak widać dobrze się ona zachowuje czyli jest malejąca i zbieżna do jedynki tak od trójki a od czwórki już na bank...Bo od zera do trójki kuleje...

korzystając z tego, że dla:

\(\displaystyle{ x \ge 4 , f(x)<f(x-1)}\)

Otrzymamy:

\(\displaystyle{ \left( \frac{2^{ \frac{1}{2} }+4^{ \frac{1}{4} }+...+(2n)^{ \frac{1}{2n} }}{ 1+3^{\frac{1}{3} }+5^{ \frac{1}{5} }+...+(2n-1)^{ \frac{1}{2n-1} }} \right)^n
\le \left( \frac{2^{ \frac{1}{2} }-1+1+3^{ \frac{1}{3} }+...+(2n-1)^{ \frac{1}{2n-1} }}{ 1+3^{\frac{1}{3} }+5^{ \frac{1}{5} }+...+(2n-1)^{ \frac{1}{2n-1} }} \right)^n \le }\)





\(\displaystyle{ \le \left( \frac{2^{ \frac{1}{2} }-1}{ 1+3^{\frac{1}{3} }+5^{ \frac{1}{5} }+...+(2n-1)^{ \frac{1}{2n-1} }} +1\right)^n=\left[\left( \frac{2^{ \frac{1}{2} }-1}{ 1+3^{\frac{1}{3} }+5^{ \frac{1}{5} }+...+(2n-1)^{ \frac{1}{2n-1} }} +1\right)^{1+3^{\frac{1}{3} }+5^{ \frac{1}{5} }+...+(2n-1)^{ \frac{1}{2n-1} }} \right]^{ \frac{n}{1+3^{\frac{1}{3} }+5^{ \frac{1}{5} }+...+(2n-1)^{ \frac{1}{2n-1} }} } }\)

ale ten drugi wyższy wykładnik:

\(\displaystyle{ \frac{n}{1+3^{\frac{1}{3} }+5^{ \frac{1}{5} }+...+(2n-1)^{ \frac{1}{2n-1} }} \rightarrow \frac{1}{(2n+1)^{ \frac{1}{2n+1} }} \rightarrow 1 }\)


A to co w kwadratowym nawiasie jak widać dąży do:

\(\displaystyle{ e^{ \sqrt{2}-1 }}\)


Teraz z drugiej strony i tu były schody, ale poszukałem takiej zależności (nie do końca sprawdzonej):

\(\displaystyle{ \left( \frac{2^{ \frac{1}{2} }+4^{ \frac{1}{4} }+...+(2n)^{ \frac{1}{2n} }}{ 1+3^{\frac{1}{3} }+5^{ \frac{1}{5} }+...+(2n-1)^{ \frac{1}{2n-1} }} \right)^n \ge e^{ \sqrt{2} -1- \frac{1}{\ln(n)}} \rightarrow e^{ \sqrt{2}-1} }\)



Co sugeruje nam, że:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left( \frac{2^{ \frac{1}{2} }+4^{ \frac{1}{4} }+...+(2n)^{ \frac{1}{2n} }}{ 1+3^{\frac{1}{3} }+5^{ \frac{1}{5} }+...+(2n-1)^{ \frac{1}{2n-1} }} \right)^n=e^{ \sqrt{2}-1 }}\)

mam wrażenie, że za grubo szacujesz z góry, zwróć uwagę, że podobną metodą możesz udowodnić, że wyraz ciągu szacuje się z góry przez coś zbieżnego do \(\exp\left(-1+2^{1/2}-3^{1/3}+4^{1/4}\right)\), a to jest mniej niż \(\exp(\sqrt 2-1)\)

na moje oko ten ciąg jest zbieżny do \(\exp\left(\sum_{n=1}^\infty \left((2n)^{1/(2n)} - (2n-1)^{1/(2n-1)}\right)\right)\)

A dół to szacowanie z dołu też mi się jakoś intuicyjnie zgadza, choć jeszcze tego nie udowodniłem, choć mogę się mylić... Temat dość ciekawy...

Twój bound z dołu dla dużych \(n\) jest większy od mojego boundu z góry, więc coś tu jest nie tak