Dlugosc luku krzywej

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
moonia87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 15 lut 2007, o 14:00
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdansk

Dlugosc luku krzywej

Post autor: moonia87 » 15 wrz 2007, o 22:45

mam problem z obliczeniem dlugosci luku krzywej \(\displaystyle{ \ln ( \sin x ), \ \ x ft[ \frac{\pi}{3} ,\frac{2\pi}{3} \right]}\)

Poprawiłem zapis. luka52
Ostatnio zmieniony 15 wrz 2007, o 22:59 przez moonia87, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Dlugosc luku krzywej

Post autor: luka52 » 15 wrz 2007, o 23:01

No, ale z czym jest problem
Mamy wzór:
\(\displaystyle{ L = t\limits_0^L \, \mbox{d}L = t\limits_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + y'^2} \, }\)
W naszym przypadku y=ln(sin x), więc liczysz pochodną, podstawiasz do wzoru i całkujesz.

moonia87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 15 lut 2007, o 14:00
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdansk

Dlugosc luku krzywej

Post autor: moonia87 » 15 wrz 2007, o 23:38

problem w tym ze jak wszytsko obliczam to mi sie wynik zeruje a powninno wyjsc ln3

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Dlugosc luku krzywej

Post autor: luka52 » 15 wrz 2007, o 23:41

W takim razie pokaż jak liczysz.

moonia87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 15 lut 2007, o 14:00
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdansk

Dlugosc luku krzywej

Post autor: moonia87 » 16 wrz 2007, o 00:41

obliczam pochodna z ln(sinx) a pochodna to \(\displaystyle{ \frac{cosx}{sinx}}\) podstawiam do wzoru i wychodzi ze calka z tego to lnsinx

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Dlugosc luku krzywej

Post autor: luka52 » 16 wrz 2007, o 10:19

Skoro \(\displaystyle{ \left( \ln \sin x \right)' = \frac{\cos x}{\sin x}}\), to jakim cudem pojawia Ci się logarytm
Podstawiasz to do wzoru i otrzymasz:
\(\displaystyle{ \int\limits_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2}{3} \pi} \sqrt{1 + \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}} \, = t\limits_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2}{3} \pi} \frac{\mbox{d}x}{|\sin x|} = \ldots}\)

moonia87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 15 lut 2007, o 14:00
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdansk

Dlugosc luku krzywej

Post autor: moonia87 » 16 wrz 2007, o 11:23

no zgadza sie a ile jest \(\displaystyle{ \int}\) \(\displaystyle{ \frac{dx}{|sinx|}}\)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Dlugosc luku krzywej

Post autor: luka52 » 16 wrz 2007, o 12:26

W przedziale \(\displaystyle{ \left[ \frac{\pi}{3} , \frac{2}{3} \pi \right]}\) jest \(\displaystyle{ |\sin x | = \sin x}\), zatem:
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{\sin x} = t \frac{dx}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} = t \frac{ \frac{dx}{\cos^2 \frac{x}{2}} }{2 \tan \frac{x}{2}} = t \frac{d ft( \tan \frac{x}{2} \right) }{\tan \frac{x}{2}} = \ln ft| \tan \frac{x}{2} \right| + C}\)
Z oznaczoną już sobie chyba poradzisz?

moonia87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 15 lut 2007, o 14:00
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdansk

Dlugosc luku krzywej

Post autor: moonia87 » 16 wrz 2007, o 13:10

dzieki tak z podstawieniem sobie poradze

ODPOWIEDZ