Matematyka.pl

Witam
Nie mam bladego pojęcia jak to zrobić. Nawet zobaczenie rozwiązania nie pomogło.

Jest to zadanie 1.1 z książki Henryka Pawłowskiego ,,Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata" (ta niebieska).

Udowodnij, że liczba \(\displaystyle{ n! \ (=1\cdot2\cdot3\cdot\ldots \cdot n)}\) jest podzielna przez sumę
\(\displaystyle{ 1+2+3+\ldots+n}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ n+1}\) nie jest liczbą pierwszą nieparzystą.

kerajs pisze:\(\displaystyle{ 1+2+...+n= \frac{n(n+1)}{2}}\)

Znam ten wzór tylko dalej nie wiem jak mam go wykorzystać i co mam z nim zrobić.

\(\displaystyle{ \frac{n!}{1+2+..+n}= \frac{n!}{ \frac{n(n+1)}{2} }= \frac{(n-1)! \cdot 2}{n+1}}\)

A jeśli

n+1 nie jest liczbą pierwszą nieparzystą

to ......

Ps. Sprawdź dodatkowo podzielność przy \(\displaystyle{ n=2}\).

Że też na to nie wpadłem.

Tylko, że to chyba nie wystarczy, żeby uznać zadania za zrobione. Nie wiem jak mógłby wyglądać pełnoprawny dowód.(Albo kroki, które musiałbym wykonać, żeby takowy przeprowadzić)

Rozpatrzyć przypadki dla \(\displaystyle{ n}\) parzystego i nieparzystego?

Nie trzeba, jeśli \(\displaystyle{ n+1}\) nie jest pierwsze, nieparzyste, to rozkłada się na dwa czynniki mniejsze od \(\displaystyle{ n}\).

Dzięki! Już teraz rozumien.

Ale \(\displaystyle{ n+1}\) może być kwadratem liczby pierwszej i wtedy nie od razu widać, że \(\displaystyle{ \frac{(n-1)!}{n+1}}\) jest całkowite

a4karo, można chyba łatwo udowodnić, że jeżeli \(\displaystyle{ n+1}\) jest kwadratem liczby pierwszej, to \(\displaystyle{ n!}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ n+1}\).

Przyjmijmy \(\displaystyle{ p^2 = n+1}\) oraz zauważmy, że \(\displaystyle{ 2p < n+1}\) dla \(\displaystyle{ p>2}\). Ponieważ \(\displaystyle{ p|2p}\), to \(\displaystyle{ p^2 = n+1}\) dzieli \(\displaystyle{ n!}\). Może się tak zdarzyć, że \(\displaystyle{ 2p=n}\), ale wtedy z równości \(\displaystyle{ n+1 = p^2}\) otrzymujemy sprzeczność. Stąd \(\displaystyle{ n+1}\) dzieli \(\displaystyle{ (n-1)!}\).

Przypadek, gdy \(\displaystyle{ p=2}\) i \(\displaystyle{ n=3}\) należy rozpatrzeć osobno, ale to łatwe, bo \(\displaystyle{ \frac{(n-1)! \cdot 2}{n+1}}\) zachodzi.